Управляемость, наблюдаемость, инвариантность и чувствительность систем управления

Управляемость САУ

Система является управляемой на сегменте [t₀, t_f], если существует входной сигнал u(t) такой, что из любого произвольного начального состояния X(t₀) систему можно перевести в любое требуемое состояние X(t_f) за конечное время t_f - t₀> 0.

Управляемость системы, описываемой уравнением

ẋ= Ax + Bu,

можно определить, исследуя алгебраическое условие

ранг [B AB A²B . . . A^n-1B] = n.

Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемости Р_с, которая выражается через А и В как

Р_с = [B AB A²B . . . A^n-1B],

и имеет размерность nx n. Если определитель матрицы Р_с отличен от нуля, то система является управляемой.

Если изобразить граф системы в переменных состояния, то при наличии путей от управляющего сигнала u(t) к каждой из переменных состояния система может быть управляема.

Пример

Рассмотрим систему, переменные состояния которой описываются дифференциальными уравнениями

и найдем условие, при котором система будет управляемой.

Из графа системы, представленного на рис.1, видно, что y = х_2.

Анализ графа показывает, что система будет управляемой, если d ‡ 0, ибо при d = 0 сигнал u(t) не имеет пути к переменной х₂.

Построим матрицу Р_с:

Р_с = [B AB] =[ ], так как В = [ ], АВ = [ ][ ] = [ ].

Определитель этой матрицы равен d, и он будет отличен от нуля, только если d ‡ 0.

1 1/p d 1/p 1

U(p) Y(p)

x₁ x₂

-2 -3

Рис.1. Граф САУ

Наблюдаемость САУ

Система является наблюдаемой на сегменте [t₀, t_f], если любое её начальное состояние X(t₀) однозначно определяется наблюдением выходной переменной y(t) на сегменте [t₀, t_f] при заданном управлении u(t).

Все корни характеристического уравнения системы можно разместить в заданных точках р-плоскости только в том случае, когда система является наблюдаемой и управляемой.

Наблюдаемость связана со способностью оценивать переменные состояния. Система может быть наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в выходной сигнал системы. Это эквивалентно тому, что на модели системы в виде графа от каждой переменной состояния существует путь к выходной переменной.

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, описываемую уравнениями

где C есть вектор-строка, а x – вектор-столбец.

Система является наблюдаемой, если определитель матрицы наблюдаемости

размерности отличен от нуля.

Пример

Рассмотрим систему, описываемую уравнениями

Так как матрицы C и CA имеют вид

det(Q)=0,

то система не наблюдаема.

Инвариантность САУ

Система является инвариантной по отношению к задающему воздействию, если компенсируется ошибка системы по каналу управления независимо от формы входного воздействия.

Система является инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если выходная функция системы не зависит от возмущающего воздействия.

Принцип инвариантности – принцип компенсации динамической и установившейся ошибок независимо от формы входного воздействия по каналу управления или компенсации возмущающего воздействия.

Чувствительность САУ

При анализе и синтезе систем управления понятие чувствительности приобретает особую важность.

Чувствительность системы – это отношение изменения её передаточной функции к изменению передаточной функции объекта управления при условии их малости.

Чувствительность системы к изменению передаточной функции прямого канала определяется выражением:

в пределе, переходя к малым изменениям,

Пример

Желаемый угол

R(p)

Структурная схема системы управления бурильной машины

В рассматриваемой системе

тогда

,

.

Из выражения для разомкнутой системы видно, что чувствительность разомкнутой системы равна единице.

Чувствительность замкнутой системы

можно сделать значительно меньше чувствительности разомкнутой системы путём увеличения W_п(p).

Чувствительность замкнутой системы к изменению параметров передаточной функции обратной связи равна

и близка к 1, если произведение W_п(p)W_oc(p) достаточно велико. Поэтому в качестве элементов обратной связи необходимо выбирать такие, которые обладали бы стабильными характеристиками, не зависящими от внешних факторов.

Робастность системы

Обычно регулятор строится на основе некоторых приближенных (номинальных) моделей объекта управления (а также приводов и датчиков) и внешних возмущений. При этом поведе­ние реального объекта и характеристики возмущений могут быть несколько иными. Поэтому требуется, чтобы разработанный регулятор обеспечивал устойчивость и приемлемое качество системы при малых отклонениях свойств объекта и внешних возмущений от номинальных мо­делей. В современной теории управления это свойство называют робастностью (грубостью). Иначе его можно назвать нечувствительностью к малым ошибкам моделирования объекта и возмущений.

Различают несколько задач, связанных с робастностью:

• робастная устойчивость - обеспечить устойчивость системы при всех допустимых от­клонениях модели объекта от номинальной;

• робастное качество - обеспечить устойчивость и заданные показатели качества систе­мы при всех допустимых отклонениях модели объекта от номинальной;

• гарантирующее управление - обеспечить заданные показатели качества системы при всех допустимых отклонениях модели возмущения от номинальной (считая, что модель объекта известна точно).

Для того чтобы исследовать робастность системы, нужно как-то определить возможную ошибку моделирования (неопределенность). Ее можно задать различными способами: