Спектральная плотность

В теории управления существуют и взаимно дополняют друг друга два подхода:

1. временнóй – исследование процессов во времени;

2. частотный – исследование частотных свойств сигналов и систем (с помощью передаточных функций и частотных характеристик).

Аналогичная ситуация наблюдается и при рассмотрении случайных процессов. Основная временная характеристика стационарного процесса – это корреляционная функция, а частотные свойства описываются спектральной плотностью.

Спектральная плотность – это функция, которая показывает распределение мощности сигнала по частотам. Такая информация о полезных сигналах, помехах и возмущениях очень важна для разработчика систем управления. Система должна быть спроектирована так, чтобы усиливать сигналы с «полезными» частотами и подавлять «вредные» частоты, характерные для помех и возмущений.

Для перехода от временнóго описания детерминированных (не случайных) процессов к частотному, используют преобразования Фурье и Лапласа. Аналогично спектральная плотность случайного процесса может быть найдена как преобразование Фурье от корреляционной функции³:

.

Здесь – мнимая единица, а – угловая частота в рад/с ( , где – «обычная» частота в герцах). Используя формулу Эйлера, можно представить экспоненту в виде сумму вещественной (косинусной) и мнимой (синусной) составляющих: . Функция – нечетная по , поэтому интеграл от нее в симметричных пределах равен нулю. Напротив, функция – четная, так что при интегрировании можно взять интервал от 0 до и удвоить результат:

.

(2)

Спектральная плотность чем-то похожа на плотность распределения вероятностей, только она характеризует плотность распределения мощности сигнала по частотам. Если случайный процесс – это напряжение в вольтах, то его корреляционная функция измеряется в В², а спектральная плотность – в В²/Гц.

Спектральная плотность случайного процесса, имеющего корреляционную функцию , вычисляется как

.

Интервал интегрирования разбит на две части. При имеем , а при – . Выполняя интегрирование, получаем

.

На рисунке слева показана корреляционная функция, а справа – соответствующая ей спектральная плотность мощности:

Свойства спектральной плотности:

1. это неотрицательная, четная функция угловой частоты (график расположен выше оси абсцисс и симметричен относительно вертикальной оси);

2. интеграл от на некотором интервале частот дает мощность, которая связана с этими частотами; поскольку функция – четная, результат интегрирования на нужно удвоить, чтобы учесть также и полосу ;

3. площадь под кривой определяет средний квадрат случайного процесса (для центрированного процесса он равен дисперсии):

.

Множитель нужен для согласования единиц измерения, поскольку угловая частота измеряется не в герцах, а в рад/с. Учитывая, что функция четная, можно интегрировать ее только при , а результат удвоить:

.

В теории управления нередко записывают спектральную плотность как функцию комплексной переменной , связанной с угловой частотой по формуле (отсюда следует ). Хотя это не совсем корректно с точки зрения математики, мы будем использовать запись для обозначения спектральной плотности , в которой выполнена замена :

.

Основные характеристики случайных процессов

Простейшие статистические характеристики случайного процесса:

- одномерная функция распределения случайного процесса , т.е. вероятность того, что текущее значение случайного процесса в момент времени не превышает некоторого заданного уровня (числа) .

- одномерная плотность вероятности;

величина (элемент вероятности) - вероятность

того, что в момент времени в интервале от до .

Эти характеристики характеризуют случайный процесс изолированно в отдельных его сечениях, не раскрывая взаимной связи между сечениями случайного процесса, т.е. между возможными значениями случайного процесса в различные моменты времени.

Вероятность того, что будет не больше при и не больше при , т.е. - двумерная функция распределения (функция распределения второго порядка).

- двумерная плотность вероятности;





n – мерные функции распределения и плотности вероятности.

МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ (средним значением) случайного процесса называют величину:

- неслучайная (регулярная) функция времени, относительно которой колеблются все реализации случайного процесса.

- среднее значение случайного процесса по множеству (среднее по ансамблю, статистическое среднее);

- вероятностное усреднение случайной величины ;

- каждое возможное значение для случайной величины принимается с весом, равным элементу вероятности .

- среднее значение квадрата случайного процесса;

- центрированный случайный процесс;

;

- дисперсия случайного процесса;

- учет степени разбросанности реализаций случайного процесса относительно его среднего значения – дисперсия случайного процесса – неслучайная (регулярная) функция времени, значения которой в каждый момент времени равно дисперсии соответствующего сечения случайного процесса.

- среднее значение квадрата случайного процесса.

- учитывает среднее значение случайного процесса и степень рассеяния реализаций относительно среднего значения.

На практике пользуются статистическими характеристиками случайного процесса, имеющими ту же размерность, что и сама случайная величина:

среднее квадратическое значение случайного процесса

;

среднее квадратическое отклонение случайного процесса

- используется для центрированного случайного процесса.

Чтобы охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т.е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени – учесть степень изменчивости случайного процесса, вводится понятие КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ случайного процесса - неслучайная функция двух аргументов , которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргумента (моментов времени) и равна математическому ожиданию произведения случайных величин и соответствующих сечений случайного процесса:

,

где - двумерная плотность вероятности.