Лабораторная работа № 2 Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости
Цель работы: исследовать поведение нелинейной системы и влияние нелинейных элементов на фазовые траектории.
Общие положения
Метод фазовой
плоскости (ФП) используется для
исследования динамики и устойчивости
систем второго порядка как линейных,
так нелинейных с любым типом нелинейного
элемента. Фазовая траектория (ФТ) –
движение изображающей точки на плоскости
с координатами: ось Х – выходная
координата системы, ось У – скорость
изменения выходной координаты
.
Совокупность ФТ для различных начальных
условий и особых точек (точек равновесия)
называют фазовым портретом системы. Он
дает возможность оценить поведение
системы и устойчивость «в большом», «в
малом» и в целом.
Уравнения ФТ получают из системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных:
(*)
Интегрируя (*), получают уравнение ФТ:
Для устойчивой системы ФТ представляют собой закручивающиеся логарифмические спирали; если в системе возникают незатухающие колебания, то ФТ, соответствующая этому режиму, замкнута (предельный цикл); если колебания расходятся, то логарифмическая спираль раскручивается. Если система содержит нелинейные элементы (НЭ) с кусочно-линейными статическими характеристиками, то фазовая плоскость разбивается линиями переключения, проходящими через точки излома НЭ, на области с различными уравнениями ФТ, их смена проходит на линии переключения.
При исследовании
свободного движения необходимо задать
начальное положение изображающей точки
(
),
при устойчивой системе ФТ стремится:
а) к началу координат
(
)
или зоне нечувствительности (при наличии
соответствующего НЭ);
б) предельному циклу – если возникает режим незатухающих автоколебаний.
При исследовании
вынужденного движения
начальное положение изображающей точки
может быть любое, а ФТ заканчивается в
точке с координатами
,
;
где
– некоторое отклонение, обусловленное
наличием зоны нечувствительности. При
наличии незатухающих колебаний – ФТ –
предельный цикл, смещенный на координату
.
Порядок выполнения лабораторной работы
1. Собрать систему, показанную на рисунке 1 (линейная часть системы астатическая).
Рисунок 1 – Структура системы
Рисунок 2 – Виды нелинейных элементов
2. Задать НЭ и
его параметры и параметры линейной
части (
).
3. Задать начальное положение изображающей точки.
4. Снять графики
,
и ФТ.
5. Пункты 3 и 4 повторить для различных НЭ, изменив зону нечувствительности и неоднозначности, коэффициент усиления.
6. Исследовать
вынужденное движение для релейных
систем, задав
,
.
7. Сделать выводы о влиянии НЭ на поведение системы.
8. Собрать схему на рисунке 3 (система статическая)
Рисунок 3 – Структура системы
Повторить исследования по пунктам 2-7.
Содержание отчета
1. Схемы исследования.
2. Результаты исследования (ФТ и графики изменения во времени выходной координаты и скорости).
3. Нанести на ФТ линии переключения. Оценить:
а) влияние зон нечувствительности и неоднозначности и коэффициента усиления линейной части на поведение системы;
б) влияние астатизма;
в) сделать выводы об устойчивости системы.
4. Записать уравнения ФТ.