1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

(4)

или

(5)

Разделив обе части уравнения (4) на f₂(y) и умножив на dx, будем иметь

Интегрируя левую часть по у, а правую − по х, получим:

Аналогично, разделив обе части уравнении на f₂(y) ₁(x) и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (5) в виде

При делении на ₁(x) и f₂(y) возможна потеря решений ₁(x) = 0 и f₂(y) = 0.

Пример. Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям для уравнения

Решение. Делим обе части уравнения на

Интегрируя получим

или

Подставляя в общий интеграл x = и y = 1

получим частное решение

или

1.3. Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду

(6)

или к виду

(7)

где Р(х, у) и Q(х, у) − однородные функции одного и того же измерения.

Функция F(x, у) называется однородной измерения m, если для любого t выполняется тождество

F(tx, tу) ≡. t^mF(x, у) (8)

С помощью замены, вводимой по формуле , где u(х) – неизвест­ная функция, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющи­ми­ся переменными.

Пример. Найти частное решение уравнения xy' = yln , удовлетворяю­щее начальным условиям у(1) = 1.

Решение. Разделив обе части равенства на х, получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

Положив в нем у = их и у′ = и′х + и, получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные

Интегрируя и подставляя вместо и, получим общий интеграл исходного урав­нения:

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям. Подставив в выражение у = хе^Сх+1 данные значения х = 1; у =1, получим 1 = е^Сх+1, откуда С = −1.

Следовательно, искомое частное решение определяется формулой у = хе^1−х. Найдена интегральная кривая, проходящая через данную точку М₀(1, 1).

1.4. Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её производной, т. е. содержит у и у′ в первой степени.

Линейное уравнение можно привести к виду

y' + p(x)y = q(х) (9)

где р(х) и q(х) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

В частности, уравнение y' + p(x)y = 0 называется линейным без правой части или линейным однородным.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства:

.

Для того чтобы решить уравнение (9) при q(х) ≠ 0, будем искать неизвестную функцию у в виде произведения двух пока неизвестных функций от х, т. е. положим у = и(х)v(х). Тогда у' = и' (х)v(х) + и(х)v' (х). Подставив значения у и y′ в уравнение (9):

и' v + иv' + иv p(x) = q(х),

после группировки получим

v [и' + иp(x)]+ иv' = q(х) (9′)

Так как у есть произведение двух функций то одна из них может быть выбрана произвольно, другая же должна определяться уравнением (9′).

Выберем и(х) так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, об­ращалось в нуль, т. е. и' + иp(x) = 0. Это уравнение с разделяющимися пере­мен­ными:

откуда

или

Для большей простоты выкладок берем частное решение , отве­чающее значению С₁ = 0. Подставив найденное значение и(х) в уравнение (9′), получим (учитывая, что

Подставив и(х) и v(х) в формулу у = и(х)v(х), найдем общее решение уравнения (9). Уравнение (9) может быть решено методом вариации произвольной посто­янной, который будет рассмотрен ниже.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y' + 2xy = 2x²e ^{- x2}.

Решение. Положим у = иv, тогда y' = u'v + v'u; подставим у и у′ в данное уравнение:

. (*)

Так как одну из вспомогательных функций и или v можно взять произвольно, то выберем в качестве и какой-либо частный интеграл уравнения или . Проинтегрировав, получим ln| u | = − x² (С = 0), откуда u = e ^{- x2} _. Подставив это выражение в уравнение (*), получим

отсюда находим

и, следовательно, общим решением будет