Билет 13.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений – множество.

Билет 14.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

AX=B, где A – основная матрица, B и X – столбцы свободных членов и решений системы соответственно. А^-1АХ=А^-1В => X=A^-1B

Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы

Ме́тод Кра́мера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

∆= ∆₁=

∆₂= ∆₃=

x₁= ; x₂= ; x₃= .

Билет 15.

Ненулевая матрица-столбец α называется собственным вектором квадратной матрицы A, соответствующим собственному числу λ, если выполнено равенство Aα = λα

|A – Eλ| = 0

Билет 16.

f(x₁,x₂,…,x_n) =

или

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме соответствует единственная симметрическая матрица

Если n = 3; то

Приведение квадратичной формы к каноническому виду:

1. записываем матрицу квадр. формы

2. найти собственные числа матрицы

3. найти собственные векторы матрицы

4. векторы ортонормированного базиса

5. связать старые координаты

6. приводим подобные и выделяем полные квадраты

7. записать каноническое уравнение

Билет 1.

Определение предела по Коши и Гейне

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)

Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого существует такое число , что

при условии

Данное определение предела известно как - определение или определение Коши.

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности {x_n}, сходящейся к точке a, последовательность f(x_n) сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

Односторонние пределы

Символом обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к а, принимает значения x < a. Соответствующий предел называется левосторонним пределом функции f (x) в точке x = a.

Аналогично, символом обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к а, принимает значения х > а. Соответствующий предел называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x = a.

Билет 2.

Если предел последовательности существует, то он единственный.

Докажем методом от противного. Предположим, что . Возьмем , по определению и свойству окрестности найдется такая проколотая δ-окрестность точки a (U_δ(a)), в которой одновременно будут выполнятся неравенства , тогда в точках этой же окрестности . Получили противоречие . Отсюда, функция f(x) в точке а имеет единственный предел.

Билет 3.

Теорема о сжатой функции.

Пусть, начиная с некоторого n, выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел a, тогда Z_n переменная также имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство:

Возьмём любое E>0, по определению предела начиная с некоторого номера n будут выполняться неравенства:

a – E < X_n < a + E и a – E < Y_n < a + E

В силу неравенств (*) выполняется неравенство (начиная с некоторого номера n):

a – E < X_n ≤ Z_n ≤ Y_n < a + E

Это и означает, что переменная Z_n имеет пределом a.

lim Z_n=a, ч. т. д.

Билет 4.

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Функция – четная, поэтому можно ограничиться только положительными значениями x и т. к. x→0, то можно ограничиться значениями в первой четверти, т. е. .

Рассмотрим площади трех фигур: .

x – радианная мера угла.

Т. к. фигуры вложены друг в друга, то их площади связаны неравенством:

Из неравенства (2) вытекает, что при x→0 sin x, как меньшая величина, тоже стремиться к нулю. Из формулы (*) следует, что cos x→1 при x→0. По теореме о сжатой переменной и по формуле (3) заключаем, что при x → 0.