Обратная матрица.

1. ( Если = 0 то не существует)

2. Вычисляем и составляем союзную матрицу

3.

Ранг матрицы.

Определение.

 Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.

Теорема.

 Ранг системы строк матрицы равен её рангу системы столбцов.

Определение.

 Рангом матрицы A называется ранг её системы строк или столбцов.

Обычно ранг матрицы A обозначается rank(A) или rang(A)

Свойства матрицы связанные с рангом

Ранг матрицы не изменится, если к ее строкам (столбцам) применить элементарные преобразования.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Методы вычисления ранга матрицы

Метод элементарных преобразований

Используя свойства матрицы связанные с ее рангом, получен метод расчета ранга наиболее часто использующийся на практике.

Метод 1.

 Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.

Метод окаймления миноров

Теорема.

 Ранг матрицы равен наибольшему порядку не равного нулю минора.

Метод 2.

 Если в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, то вся процедура повторяется.

7. СЛАУ. Основные определения.

Определение

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

Упорядоченный набор значений   называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

Виды систем

Определение

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.

Определение

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение. В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой

Определение

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Определение

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных

Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

 ,

где матрица   называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных;   - вектором-столбцом неизвестных,   - вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов.

Определение

Расширенной матрицей системы   называется матрица, полученная из матрицы системы  , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов.

8.Матричный метод.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица  . Умножим обе части матричного уравнения   слева на   (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем  . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как  , а по определению обратной матрицы   (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому

Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле  . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы  .

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу   только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.