6. Элементарные логические функции, Понятие Базиса
7. Основные эквивалентности. Способы представления фал: таблица
истинности, совершенные нормальные формы, сокращенные способы
записи
Таблица истинности — это таблица, в которой отражены все значения логической функции при всех возможных значениях, входящих в неё логически Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).
Таблицы истинности для основных двоичных логических функций
Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция
a |
b |
a∧b |
|
|
a |
b |
a∨b |
|
|
a |
b |
a→b |
|
|
a |
b |
a↔b |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритм составления таблиц истинности.
1) Подсчитать количество логических переменных n
2) Подсчитать количество строк m=2^n
3) Количество столбцов = n+ количество логических операция
Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.
Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.
Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности статьи минимизация логических функций методом Квайна, в которой нахождение СДНФ встречается несколько раз:
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
В ячейках результата отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных при которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.
Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех четырёх переменных, это:
Нулевые
значения — тут все переменные
представлены нулями — записываются
в конечном выражении инверсией этой
переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой
функции выглядит так: 
Переменные второго члена:
в
этом случае будет представлен без
инверсии: 
Таким образом анализируются все ячейки . Совершенная ДНФ этой функции будет дизъюнкцией всех полученных членов (элементарных конъюнкций).
Совершенная ДНФ этой функции:
Соверше́нная конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.
Пример нахождения СКНФ[править | править исходный текст]
Для того, чтобы получить СКНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности статьи минимизация логических функций методом Квайна:
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
В ячейках строки́ отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние нуля.
Четвёртая строка содержит 0 в указанном поле. Отмечаются значения всех четырёх переменных, это:
В
дизъюнкцию записывается переменная
без инверсии, если она в наборе равна
0, и с инверсией, если она равна 1. Первый
член СКНФ рассматриваемой функции
выглядит так: 
Остальные члены СКНФ составляются по аналогии.
Минимизация булевых функций
Импликантой функции называют некоторую логическую функцию, которая обращается в ноль на том же наборе переменных, на котором равна нулю сама функция.
Любой конъюнктивный терм (элементарная конъюнкция) или группа термов, соединенных знаками дизъюнкции, входящие в СДНФ, являются импликантами исходной функции
Элементарная конъюнкция (конъюнктивный терм), в которой удален один или несколько первичных термов, называется простой импликантой.
Методов минимизации булевых функций в настоящее время существует довольно много. Все они, как правило, состоят из двух этапов. На первом этапе получают список всех простых импликант, т.е. сокращенную ДНФ. На втором этапе, используя таблицу покрытий, удаляют “лишние” импликанты, покрывемые другими импликантами. В результате получают ДНФ, из которой нельзя удалить ни одной импликанты. Такую ДНФ называют тупиковой.