Отображения

Пусть X и Y некоторые множества и , причем . Тройка множеств определяет некоторое соответствие, обладающее, однако, тем свойством, что его область определения совпадает с областью отправления, т.е. Х и следовательно, это соответствие определено всюду на Х. Другими словами, для каждого существует , так что . Такое всюду определенное соответствие называется отображением Х в Y и записывается так

_{Под термином «отображение» часто понимают однозначное соответствие. Но под более полные понятием отображения понимается соответствие, когда каждому элементу х Х отображение Г ставит в соответствие некоторое подмножество Y}

_{которое называется образом элемента х. Закон, по которому осуществляется соответствие, определяется множеством Г.}

_{Пусть . Тогда образом будет множество . Совокупность всех элементов Y, являющихся образами Гх для называется образом А и обозначается ГА}

_.

_{Если А1 и А2 - подмножества Х, то}

_.

_{Но соотношение}

_{справедливо только для однозначных отображений. В общем же случае}

_.

_{Важным частным случаем отображения является случай когда множества и совпадают. При этом отображение будет представлять отображение множества Х самого на себя и будет определяться парой}

_{, где .}

_{Подробным изучением таких отображений занимается теория графов. Здесь отметим несколько соотношений.}

_{и т.д.,}

_.

_{обратное отображение.}

_Тогда

_{и т.д.}

_{Пример. Пусть Х-множество людей. Для каждого человека обозначим через множество его детей. Тогда есть множество его внуков, - множество правнуков; множество родителей и т.д.}

Отношения

_{Отображение множества самого на себя называют отношениями.}

Пусть отображение является отношением. Рассмотрим элемент . Говорят, что элемент у находится в отношении Г к элементу х и пишется в виде

_{Так символ Г в рассмотренном ранее примере означает «быть детьми данного человека».}

_{Таким образом, отношение есть пара множеств (Х, Г) в которой . Поскольку элементами множества Х2 , то можно сказать что отношения есть множество упорядоченных пар. Так как каждая пата связывает между собой только два элемента множества Х2 , то такое отношение называют бинарным. В дальнейшем под отношениями будем иметь ввиду бинарные отношения.}

_{Можно ввести более общее понятие отношения, называя отношением пару множеств (Х, Г), где , то есть элементами множества Г будут упорядоченные пары (п=2), упорядоченные тройки (п=3) , упорядоченные четверки (п=4) и т.д. В частности, множество упорядоченных троек называется тернарным отношением.}

_{Отношения делятся на различные виды в зависимости от того, обладают или нет некоторыми свойствами: рефлексивность: хГх истинно; антирефлексивность хГх ложно: симметричность хГу→уГх; антисимметричность: хГу и уГх→х = у; несимметричность: если хГу истинно, то уГх ложно; транзитивность: хГу и уГz→хГz. При описании этих свойств будем считать, что - любые элементы из множества Х.}