8.Векторлардың аралас көбейтіндісінің анықтамасы және қасиеттері

Анықтама. Кез келген векторлары берілсін. Егер векторын векторына векторлық көбейтіп, содан кейін векторын векторына скаляр көбейтсек нәтижесінде векторларының аралас көбейтіндісі деп аталатын саны шығады.

Үш вектордың аралас көбейтіндісін , немесе символдарымен белгілейміз.Аралас көбейтіндінің қасиеттері:1-қасиет. аралас көбейтінді және векторларынан құрылған бағытталған параллелепипедтің көлеміне тең.

2-қасиет. Егер векторлары компланарлы болса, онда аралас көбейтінді нөлге тең.

3-қасиет. Егер аралас көбейтіндінiң көбейткіштерiн циклдiк орын алмастырсақ оның мәнi өзгермейді

4- қасиет. Аралас көбейтіндінің сызықтық қасиеті

векторлардыңкоординаталарыберілсе, ондаосыүшвекторларданқұрылғанпараллелепипедтіңкөлемі, араласкөбейтіндініңанықтамасыбойынша осы үш векторлардан құрылған пирамиданың көлемі .

9.Кеңістіктегі жазықтықтың және түзулердің теңдеулері. Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері.Жазықтықтың вектор түріндегі теңдеуі (1)

_{мұндағы} векторынығ ұзындығы, бас нүктесі кеңістіктің бас нүктесінде жататын вектордың соңғы нүктесінен жазықтық тұрғызылған, векторы вектордың бірлік векторы, және бұрыштары векторының өстерімен жасайтын бұрыштары, жазықтықтың кез келген радиус векторы.

Жазықтықтың нормаль түріндегі теңдеуі

Жазықтықтың жалпы түрдегі теңдеуі

векторы жазықтықтың нормалі деп аталады.

Жазықтықтың кесіндідегі теңдеуі

Бұл жазықтық өсiн нүктеде, өсiн нүктеде, өсiн нүктеде қиып өтедi. . Кеңістіктегі түзудің теңдеулерінің түрлері нүктесi арқылы өтетін векторына параллель болатын түзудің теңдеуінің түрі мынадай:

теңдеулердi түзудiң канондық теңдеулерi деп атайды.

теңдеулері түзудің параметрлі түріндегі теңдеулері.

Екі және нүктелерi арқылы өтетiн кеңістіктегі түзудің теңдеулері:

(11)

Бiзге және екi жазықтықтың жалпы түрдегi теңдеулерi берiлсiн:

(14)

Егер осы екі жазықтық қиылысса, онда (14) теңдеулерді түзудің кеңістіктегі жалпы түрдегi теңдеулерi деп атайды.

10. Жазықтықтағы түзудiң теңдеулерi.Жазықтықтағы түзудің теңдеулерін кеңістіктегі жазықтықтың теңдеулерінің дербес түрі деп қарастыру керек, яғни Сондықтан жазықтықтың теңдеулерінен жасалған барлық тұжырым жазықтықтағы түзулердің теңдеулеріне дұрыс.Жазықтықтағы түзудің векторлық түріндегі теңдеуі

Жазықтықтағы түзудiң нормаль түріндегі теңдеуi

Жазықтықтағы түзудің жалпы түрдегі теңдеуі

Жазықтықтағы түзудің кесіндідегі теңдеуі

Жазықтықта жатқан екі және түзулері берілсін

Екі түзудің арасындағы бұрыш және түзулердің перпендикуляр болу шарты (23) және түзулердің параллель болу шарты

Егер және түзулері мектептен белгілі бұрыштық теңдеулер арқылы берiлсе, яғни

Онда екі түзудің перпендикуляр болу шарты ал олардың параллель болу шарты нүктесi арқылы өтетін векторына перпендикуляр түзудің теңдеуі немесе

болады. Екi және нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi мына формула-мен есептелінеді: түзуiмен нүктенiң ара қашықтығы