2.2. Застосування визначеного інтеграла

а) Обчислення площ.

Якщо рівняння заданої лінії є , де , то площа криволінійної трапеції, яка обмежена знизу віссю ОХ, зверху кривою, праворуч та ліворуч прямими задаються формулою

Для випадку обчислення площ довільної плоскої фігури, обмеженої кривими,

маємо формулу :

Ця формула є вірною для випадків, коли бічні сторони (одна чи обидві), стягуються у точки . Тоді за границі інтегрування беремо найменшу та найбільшу абсцису точок кривої, якщо вона одна, чи абсциси точок перетину двох кривих .

Нехай та кривою (p, – полярні координати;p( ) – неперервна на [a;b]).

Тоді

При розв’язку задач можна використовувати слідуючий алгоритм.

1. Зробити малюнок.

2. Знайти границі інтегрування та обчислити за формулою площу.

Приклад 5. Знайти площу фігури, обмеженої лініями та

Знаходимо абсциси точок перетину кривих.

=0

Приклад 6. Обчислити площу пелюстки.

.

:

6) Обчислення об’ємів тіл обертання.

Нехай тіло отримано обертанням відносно вісі ОХ криволінійної трапеції, яка обмежена зверху кривою . Тоді об’єм тіло обертання обчислюється за формулою

.

Якщо тіло отримано обертанням відносно вісі , то його об’єм обчислюється за формулою

.

Приклад 7. Знайти об’єм тіла обертання, обмеженого заданими лініями та

(куб.од.)

В) Обчислення відстані , яку пройшло тіло, по заданій швидкості за даний проміжок часу.

Нехай задано швидкість руху точки V вздовж прямої OX як функція часу , де t– час. Крива називається графіком швидкості . Шлях S , який пройшла точка за даний проміжок часу зобразиться на графіку швидкості площею, обмеженою кривою швидкості, та віссю OX, тобто то площею , обидві заштриховані частини б nеруться зі знаком «+», тому що

Переміщення S точки, тобто зміна її відстані від вибраного початку розрахунку за проміжок часу задається формулою .

Приклад 8. Через годин після відправлення зі станції потяг мав прискорення . Знайти швидкість потягу та відстань через 1 годину після відправлення, якщо, b=3, c=-42, d=80, t=1.

(км/год.)

(км)

Г) Обчислення довжини дуги кривої

Нехай крива задана рівнянням (причому неперервна разом із своєю похідною на[a;b]); тоді довжина дуги кривої визначається за формулою

Довжина кривої, задана параметричним рівнянням –диференційовані функції,

а та значення параметра , при яких дорівнює

Приклад 9. Обчислити довжину кривої на відрізку [1;4] .

Контрольні запитання:

1. Що називається первісною функцією для заданої функції f(x)?

2. Що називається невизначеним інтегралом від заданої функції ?

3. Сформувати основні властивості невизначеного інтегралу.

4. Сформувати задачі з геометрії та фізики , які приводять до означення визначеного інтегралу.

5. Який геометричний зміст у визначеного інтегралу?

6. Сформувати основні властивості визначеного інтегралу.

7. Записати формулу Ньютона-Лейбніца.

8. Записати основну формулу заміни змінної у визначеному інтегралі.

9. Чим відрізняється метод заміни змінної у визначеному інтегралі від методу заміни змінної у невизначеному інтегралі ?

10. Записати формулу обчислення площі плоскої фігури і прямокутній системі координат.

11. Записати формулу обчислення об’ємів тіл обернення.

12. Записати формулу обчислення відстані за заданою миттєвою швидкістю.

Питання для самоперевірки

1. Скільки доданків має сума .

2. Як називається ця сума та від чого вона залежить ?

3. Сформулюйте означення визначеного інтеграла .

4. Який геометричний та механічний зміст визначеного інтеграла ?

5. Сформулюйте основні властивості визначеного інтеграла.

6. Відомо, що . Чому дорівнює .

7. Чому дорівнює сума .

8. Якщо , чому дорівнює .

9. Якщо , чому дорівнює .

10. Як обчислити визначений інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца ?

11. Поясніть формулу заміни змінної у визначеному інтегралі та інтегрування по частинах.

12. Знайдіть:

якщо функція має рівні значення у точках та неперервну похідну. Поясніть геометричний зміст отриманого результату.

13. Відомо, що . Чи витікає з цього , що f`(x)=0 на [a;b].

14. Відомо, що неперервна та . Чи витікає з цього, що на [a;b].

15. Відомо, що на [a;b]. Чи витікає з цього, що .

16. Відомо, що , y=g(x) -диференційовані функції та на [a;b]. Чи витікає з цього, що :

А)

Б) .

17. Визначить знак інтеграла :

А) , якщо – зростаюча(спадаюча)

Б) , якщо графік функції опуклий(впалий )на [a;b],

18. але підінтегральна функція набуває тільки додатніх значень.