§ 8. Координаты вектора в базисе
Пусть b
= {b1
, … , bn}
– базис n-мерного
векторного пространства V
над полем F. Тогда
L(b)
= V, так что
любой вектор v
V является
линейной комбинацией базисных векторов:
v = 1b1+…+nbn.
Скаляры 1
, … , n
называются координатами вектора
v в базисе
b , а вектор-столбец
nF – координатным
столбцом вектора v в базисе
b и обозначается через [v]b
.
Примеры: 1. Если e = (e1 , … , en) – стандартный базис векторного пространства Fn, то координатным столбцом вектора (1 , … , n) Fn является вектор-столбец nF.
2. Пусть
V = R2. Тогда
b = ((1; 1), (1; –1)) – базис
V (почему ?!). Если v =
(4; 6), то для нахождения координатного
столбца [v]b
2F
запишем разложение (4; 6) = v
= = 1b1
+ 2b2
= 1(1;
1) + 2(1;
–1) = (1
+ 2
; 1
– 2),
получая систему
двух линейных уравнений с двумя
неизвестными. Решая её, находим [v]b
=
.
3. Пусть V
= 2R
, b = (
,
)
– базис V, v
=
.
Аналогично предыдущему находим:
=
v = 1b1
+ 2b2
=
,
[v]b
=
.
4. Обобщая примеры 2 и 3, можно сформулировать следующие правила:
а) если V = F n и b = (b1 , … , bn) – базис F n , то координатный столбец [v]b вектора v F n находится из системы линейных уравнений (b1t , … , bnt)[v]b = vt .
б) если V = nF и b = (b1 , … , bn) – базис nF , то координатный столбец [v]b вектора v nF находится из системы линейных уравнений (b1 , … , bn)[v]b = v .
Теорема (о координатах вектора в базисе). Пусть b = {b1 , … , bn} – базис n-мерного векторного пространства V над полем F. Тогда
для любого вектора v V определён координатный столбец [v]b ,
координатный столбец [v]b для любого вектора v V определён однозначно,
(3) любой вектор-столбец nF является координатным столбцом некоторого вектора v V ,
(4) v, w V [v + w]b = [v]b + [w]b , v V F [v]b = [v]b .
Доказательство. (1) уже обосновано при определении координатного столбца.
(2) Пусть
,
nF – два координатных
столбца одного вектора v
V в базисе b. Тогда
v = 1b1+…+nbn
= 1b1+…+nbn
и значит (1
– 1)b1+…+(n
– n)bn
= 0 . Из линейной
независимости базиса следует i
= i
(1
i
n), что и
требовалось.
(3) Достаточно положить v = 1b1+…+nbn .
(4) Если v = 1b1+…+nbn , w = 1b1+…+nbn , то v+w = (1+1)b1+…+(n+n)bn и v = (1)b1+…+(n)bn. Теорема доказана.
§ 9. Изоморфизмы векторных пространств
Пусть (V , +, { | F} ) и (W , , { | F} ) – два векторных пространства над одним и тем же полем F. Отображение : V W называется гомоморфизмом векторных пространств, если сохраняет операции сложения и умножения на скаляры, т.е. выполнены следующие условия:
(А): u, v V (u+v) = (u) (v) (условие аддитивности),
(О): F v V (v) = (v) (условие однородности).
Инъективный гомоморфизм
называется вложением (векторных
пространств) или мономорфизмом,
сюръективный – наложением или
эпиморфизмом, а биективный
гомоморфизм – изоморфизмом (векторных
пространств). Если существует
изоморфизм векторных пространств
: V
W, то говорят, что векторные
пространства (V , +,
{ |
F} ) и
(W ,
, { |
F} ) изоморфны и кратко обозначают
это символом V
W .
Примеры: 1. Пусть : R2 R2 задано правилом (x; y) = (x–y; –2x). Докажем, что – изоморфизм векторных пространств. Вначале проверим гомоморфность:
(А): u, v R2 (u+v) = (u) + (v)
Пусть u = (a; b), v = (c; d) R2. Тогда u + v = (a+c; b+d), (u+v) = (a+c; b+d) = = ((a+c)–(b+d); –2(a+c)) = (a–b; –2a)+(c–d; –2c) = (a; b) + (c; d) = (u)+(v).
(O): F v R2 (v) = (v)
Пусть u = (a; b) R2, F. Тогда u = (a; b), (u) = (a; b) = = (a–b; –2a) = (a–b; –2a) = (u).
Итак, – гомоморфизм векторных пространств. Выясним, к какому виду гомоморфизмов относится . Для этого проверим условия инъективности и сюръективности.
Инъективность: u, v R2 (u) = (v) u = v
Пусть u = (a; b), v = (c; d) R2 и (u) = (v), т.е. (a–b; –2a) = (c–d; –2c) . Ясно, что тогда a = c и b = d, т.е. u = v. Значит – вложение векторных пространств.
Сюръективность: Im() = R2, т.е. v R2 v R2 v = (u)
Пусть v =
(c; d) R2
. Тогда v = (c;
d) = (
;
–2(
))
= (
;
)
Im().
Значит –
эпиморфизм векторных пространств.
Итак, – изоморфизм векторных пространств.
2. Если (V, +, { | F}) – любое векторное пространство, а W = {0} – нулевое векторное пространство с тривиальными операциями 0 0 = 0, F 0 = 0, то отображение : V W , заданное правилом v V (v) = 0 будет эпиморфизмом векторных пространств (почему ?!).
3. Если (V, +, { | F}) – любое векторное пространство, а W – его подпространство, то тождественное отображение i: W V, определённое правилом w W i(w) = w является вложением (почему ?!).