§ 2. Многочлены нечётной степени над r

Целью настоящего параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема (о существовании корня у многочлена нечётной степени). Всякий многочлен f(x)  R[x] нечётной степени имеет корень в R.

Доказательство. Пусть

f(x) = f_nxⁿ + f_n–1x^n–1 + … + f₁x + f₀ =

– многочлен нечётной степени n над полем R. Очевидно, что он имеет действительный корень тогда и только тогда, когда имеет действительный корень многочлен, стоящий в скобках, той же самой степени, но со старшим коэффициентом, равным единице. Поэтому сразу будем считать f_n = 1. Функция f(x), будучи многочленом, непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому, используя простейшие свойства пределов, имеем

В последнем равенстве использована нечётность числа n. Аналогично получаем

Значит,  С > 0 ( x  C f(x) > 0)  ( x  –C f(x) < 0) (см. рис.). Таким образом, на концах отрезка [–C; C] непрерывная функция f(x) имеет разные знаки и по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, она обращается в ноль в некоторой точке этого интервала, которая и является корнем многочлена f(x). Теорема доказана.

§ 3. Лемма о модуле старшего члена

Прежде чем формулировать лемму напомним, что любое комплексное число z  C записывается в алгебраической форме в виде z = x + iy, где х – его вещественная часть, а у – его мнимая часть (х, у  R), i – мнимая единица (i² = –1). Будем изображать комплексное число z = x + iy точкой с координатами (х; у) на обычной плоскости, чтобы использовать геометрическую интуицию и терминологию. Комплексное число называется комплексно сопряжённым числу z. Операция сопряжения удовлетворяет следующим известным свойствам: (1) линейность  z, t  C , (2) мульти­пли­ка­тивность  z, t  C , (3)  z  C = z, (4)  z  C = z  z  R . Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| = . Модуль числа удовлетворяет следующим свойствам: (1) неотрицательность  z  C |z|  0,  z  C |z| = 0  z = 0, (2) неравенство треугольника  z, t  C |z + t|  |z| + |t|, (3) мультипликативность  z, t  C |zt| = |z||t| . Очевидно, что в случае действительного числа z его модуль совпадает с обычной абсолютной величиной, определённой для вещественных чисел ( = |x|).

Упражнение: Докажите, что  z, t  C | |z| – |t| |  | z – t | .

Лемма (о модуле старшего члена). Пусть f(z) = a_nzⁿ+a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀ – многочлен степени n над полем С . Тогда для любого комплексного числа z, модуль которого больше, чем R = , где A = max{ |a_i| | 0  i  n–1}, модуль старшего члена a_nzⁿ многочлена f(z) больше модуля его “хвоста” a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀ (более точно:  z  С |z|>R   |a_nzⁿ| > |a_n-1z^n-1+…+a₁z+a₀|).

Доказательство. Используя свойства модуля, оценим величину |a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀| :

|a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀|  |a_n–1z^n–1|+…+|a₁z|+|a₀| = |a_n–1||z|^n–1+…+|a₁||z|+|a₀| 

 {A = max{|a_i|}}  A|z|^n–1+…+A|z|+A = A(|z|^n–1+…+|z|+1) = {|z| > 1} = A 

 {|z| > 1}  A .

Теперь выясним, при каких ограничениях на |z| будет выполнено неравенство A < |a_nzⁿ| . Имеем цепочку неравенств:

A < |a_nzⁿ|  A|z|ⁿ < |a_n||z|ⁿ(|z| – 1)  |z|ⁿ(A + |a_n|) < |a_n||z|ⁿ⁺¹ 

 {z  0}  (A + |a_n|) < |a_n||z|  |z| > ,

что и требовалось доказать.

Cледствие 1 (о поведении комплексного многочлена на бесконечности). Для любого многочлена f(z) = a_nzⁿ+a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀  С[z] и любого комплексного числа z, модуль которого больше  = , где A = max{ |a_i| | 0  i  n–1}), выполнено неравенство |f(z)|  > 0.

Доказательство. Рассмотрим многочлен g(x) = zⁿ+a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀  С[z]. По лемме о модуле старшего члена,  z  С |z| >   | zⁿ| > |a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀|, (где  = , A = max{ |a_i| | 0  i  n–1}). Поэтому при |z| >  (с учётом упражнения и приведённого ниже рисунка) имеем

|f(z)| = |a_nzⁿ+(a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀)| > ||a_nzⁿ| – |a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀|| 

 || a_nzⁿ | – | zⁿ|| = .

Следствие 2 (об ограниченности модулей корней многочлена над С). Все корни лю­бого многочлена f(z) = a_nzⁿ+a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀  С[z] лежат в круге |z|   = , где A = max{ |a_i| | 0  i  n–1}.

Доказательство очевидно, ибо по следствию 1 вне указанного круга f(z)  0 .

Следствие 3 (о поведении комплексного многочлена в окрестности точки z₀  C). Пусть z₀  C, и f(z) = a_n(z – z₀)ⁿ+ … + a_k(z – z₀)^k + a₀ – комплексный многочлен, разложенный по степеням z – z₀ , где a₁ = … = a_k–1 = 0, a_k  0. Тогда для любого комплексного числа z со свойством |z – z₀ | <  = , где А = max{ |a_i| | k  i  n–1}, будут выполнены неравенства |a_k||z – z₀|^k  |f(z) – f(z₀)|  |a_k||z – z₀|^k .

Доказательство. Имеем |f(z) – f(z₀)| = | f(z) – a₀ | = |a_n(z – z₀)ⁿ+ … + a_k(z – z₀)^k| =

= |z – z₀|ⁿ| a_k + … + a_n| = { t = } = | a_kt^n–k + … + a_n| >

> { |t| > 1+ , следствие 1 } > = |a_k||t|^–k = |a_k||z – z₀|^k.

Таким образом, первое из указанных в формулировке леммы неравенств выполнено при |t| = > 1+ , где А = max{ |a_i| | k  i  n–1}, т.е. при |z – z₀| <  .

Далее, имеем цепочку неравенств |f(z) – f(z₀)| = | f(z) – a₀| = |a_n(z – z₀)ⁿ+…+ a_k(z – z₀)^k| 

 | a_k||z – z₀|^k + |a_k+1||z – z₀|^k+1+…+ |a_n||z – z₀|ⁿ  { А = max{ |a_i| | k  i  n–1} } 

 |a_k||z – z₀|^k+ А |z – z₀|^k+1  { |z – z₀| < 1 } <

< |a_k||z – z₀|^k + А|z – z₀|^k+1 < { |z – z₀| <  } <

< |a_k||z – z₀|^k + |a_k||z – z₀|^k = |a_k||z – z₀|^k ,

т.к. А|z – z₀|^k+1 < |a_k||z – z₀|^k  А|z – z₀|^k+1 < |a_k||z–z₀|^k(1–|z – z₀ |) 

 А|z – z₀|^k+1 < |a_k||z–z₀|^k – |a_k||z–z₀|^k+1  |z – z₀| < = .

Следствие доказано.