1.2.2. Раціональні функції та їх розклад у суму простих дробів.

А. Означення раціональних функцій і простих дробів.

Означення. Раціональною функцією називається відношення двох многочленів

.

Змінна х – дійсна, коефіцієнти обох многочленів – дійсні числа, , .

Означення. Раціональна функція (дріб) називається правильною, якщо ; якщо – раціональний дріб називається неправильним. Будь який неправильний дріб може бути представлений у вигляді суми многочлена степеня і правильного дробу: , ; знаходження цілої частини і остачі може бути виконано, наприклад, за допомогою процедури ділення «кутом». У подальшому прийматимемо, що – правильний дріб.

Означення. Простими дробами називаються раціональні функціїнаступних чотирьох типів:

I. ;	II. ;
III. ;	IV. .

Б. Теорема про розклад правильної раціональної функції у суму простих дробів.

Нехай знаменник правльного раціонального дробу представлений у вигляді: , . Тоді дріб єдиним чином може бути представленийяк суми простих дробівтакої структури:

.

Дано функцію

.

Тут

, .

Після ділення «кутом» отримаємо . Згідно теореми, отриманий правильний дріб повинен представитись у вигляді:

, (*)

де – невідомі поки що коефіцієнти («невизначені коефіцієнти»). Приводимо суму в правій частині рівності (*) до спільного знаменника:

Дроби в правій і лівій частинахцієї рівності рівні, так як їх знаменники співпадають, повинні бути рівні і чисельники:

Невизначені коефіцієнти знаходяться з цієї рівності. Так, підставивши в неї значення , отримаємо:

Якщо підставити в цю рівність корені тричлена , будуть визначені і _. Такий прийом знаходження невизначених коефіцієнтів називають способом часткових значень. Другий метод полягає в тому, що розкриваються дужки у правій частині рівності і прирівнюються коефіцієнти при однакових степенях :

Коефіцієнти при степенях справа і зліва від знаку рівності:

Цю систему можнарозв’язувати будь яким з відомих способів. Скористуємось правилом Крамера.

; ; ; ; ; .

Отже, функція представляється у вигляді: .

Наостанок відмітимо, що при розв’язуванні задач потрібно комбінувати методи часткових значень і порівняння коефіцієнтів при степенях , тобто виключати коефіцієнти, знайдені по частковим значенням, з системи рівнянь.

В прави для самостійного розв’язування

1. Спростити наведені вирази:

; ; ; .

2. Із рівності комплексних чисел знайти х і у:

а)2 + 5ix – 3iy = 14i + 3x – 5y; б)aix + biy – a = i – ax – by.

3. Подати у тригонометричній формі комплексні числа:

а) ; б) .

4. Виконати перетворення:

а) ;

б) .

5. Обчислити:

а) ; б) ; в)  .

6. Знайти формулу для обчислення .

7. Розв’язати систему рівнянь:

а) б)

в)

8. Обчислити:

а) ; б)

9. Нехай . Обчислити:

а) ; б) ;

в) ; г) .

10. Розв’язати рівняння:

а) ; б) .

в) ; г) .

11. 1)Довести тотожність . Який її геометричний зміст?

2)Довести, що будь-яке комплексне число z, відмінне від –1, модуль якого 1, можна подати у вигляді , де t– дійсне число.

19