2.1.3. Збіжні та розбіжні послідовності.

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для кожного як завгодно малого додатного числа існує таке число , що

для всіх .

Позначення: .

Графічна ілюстрація

Рис. 2.1.

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною.

П ослідовність – збіжна, оскільки існує (за означенням

для будь-якого ).

Зауваження. Послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нульовою послідовністю.

П ослідовність розбіжна, оскільки не має границі. Вона почергово набуває значення + 1 і –1.

2.1.4. Властивості збіжних послідовностей.

Теорема 1.Границя сталої дорівнює цій сталій:

.

Доведення. Справді, для всіх n, тому

. 

Теорема 2.Якщо послідовність х_n має границю, то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай і , причому .

Для визначеності візьмемо, що і . Оскільки , то знайдеться число N, таке що при виконується нерівність

(2.1)

_{А оскільки водночас} , то знайдеться число N₂, таке що при

(2.2)

Візьмемо . При одночасно виконуються обидві нерівності (2.1), (2.2).

Оцінімо

,

тобто .

Це неправильна (хибна) нерівність. Дістали суперечність, яка й доводить теорему.

Теорема 3.Послідовність х_n, яка має границю, є обмеженою.

Доведення. Нехай . Візьмемо довільне , наприклад =1. Тоді знайдеться число N, таке що при всіх виконуватиметься нерівність . Звідси випливає:

.

Позначимо

.

Тоді для всіх n

,

тобто послідовність х_n обмежена.

Теорема 4. Нехай . Тоді знайдеться число N, таке що при будь-якому справджуватиметься нерівність

.

Доведення. Візьмемо довільне значення , наприклад . Тоді знайдеться число N, таке що при виконується нерівність або . Тоді або .

Теорема 5. Нехай . Якщо послідовність x_nпри всіх n задовольняє нерівність , то .

Доведення. Припустимо супротивне, тобто .

Тоді згідно з теоремою 4 можна стверджувати, що починаючи з деякого номера n виконуватиметься нерівність

.

А це суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. 

Теорема 6. Якщо і , , то .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай . Тоді згідно з теоремами 4 і 5, починаючи з деякого номера виконуватимуться нерівності

.

Тоді , що суперечить умові. Отже, припущення неправильне. 

Означення. Перехід від нерівності до нерівності називається граничним переходом у нерівності.

Теорема 7 (про «охоплену» послідовність або теорема про двох міліціонерів). Нехай виконується нерівність . Якщо послідовності х_n і у_n збіжні, причому , то послідовність u_n також буде збіжною і .

Доведення. Візьмемо довільне . Тоді знайдеться число N, таке що при , виконується нерівність . Аналогічно, знайдеться число N₂, таке що при виконується нерівність . Візьмемо . Тоді при виконуються одночасно обидві нерівності

або

Розглянувши підкреслені нерівності, запишемо:

.

Остаточно дістанемо , або , тобто для довільного можна знайти N, таке що при виконується нерівність , що означає, що . 

Р озглянемо послідовність .

При всіх n виконується нерівність .

Оскільки то .

Теорема 8 (Больцано-Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення. Розглянемо множину значень послідовності . Ця множина обмежена, тому вона має точну верхню і нижню межі. Для визначеності вважатимемо, що послідовність х_n монотонно зростає.

Позначимо і доведемо, що При всіх n за умовою теореми виконується нерівність Візьмемо довільне За означенням точної верхньої межі можна знайти значення , таке що . Оскільки послідовність монотонно зростає, то при маємо

Із нерівностей випливає: і

Це означає, що 