4.2.10. Формула Тейлора для функції двох змінних.

Нехай функція двох змінних z = f(x, y) в околі точки (x₀, y₀) має неперервні похідні всіх порядків до m включно. Тоді в цьому околі справджується рівність:

(4.30)

де

Означення. Многочлен

називають многочленом Тейлора m-го порядку функції f(x, y), а функцію

‑

залишковим членом m-го порядку формули Тейлора.

Формулу (4.30) називають формулою Тейлора m-го порядку функції f(x, y) в околі точки (x₀, y₀) із залишковим членом у формулі Пеано. Зокрема, при x₀ = y₀ = 0 формулу (4.30) називають формулою Маклорена.

Якщо функція f(x, y) має в околі точки (x₀, y₀) неперервні похідні до (m+1)-го порядку включно, то для будь-якої точки (x, y) із цього околу знайдеться точка , , така що

(4.31)

де P_m(x, y) ‑ многочлен Тейлора.

Формулу (4.31) називають формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. Якщо функція f(x, y) подається у вигляді (4.30), (4.31), то говорять, що вона розкладена за формулою Тейлора в околі точки (x₀, y₀).

Для функцій трьох і більшої кількості змінних формула Тейлора виводиться аналогічно.

Наприклад, для функції z = f(x₁, x₂, x₃, …, x_n) у точці формула (4.30) набирає вигляду

,

де , і підсумовування виконується за всіма цілими невід’ємними _і, такими що .

4.2.11. Визначник Якобі (якобіан).

Важливим формальним засобом дослідження функцій є визначники, утворені з частинних похідних.

Нехай дано n функцій n змінних:

(4.32)

які визначені в деякій n-вимірній області D і мають у ній неперервні похідні за всіма змінними. Складемо із цих похідних визначник

(4.33)

Визначник (4.33) називають функціональним визначником Якобі, або якобіаном, системи функцій (4.32) за ім’ям німецького математика Якобі, який уперше вивчив його властивості.

Позначають якобіан символом

.

Якобіан має властивості, які подібні до властивостей звичайної похідної. Глибша аналогія між похідними та якобіанами розкривається в теорії неявних функцій, особливо коли йдеться про заміну змінних у кратних інтегралах.

4.3. Дослідження функцій багатьох змінних.

4.3.1. Поняття екстремуму функцій багатьох змінних.

Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Означення. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Графічна інтерпретація.

Точка А‑ точка максимуму Точка В‑ точка мінімуму

Рис. 4.15 Рис. 4.16

Можливий ще й такий варіант екстремальної точки: так звана сідлова точка (рис. 4.17).

Точка С ‑ сідлова точка

Рис. 4.17

4.3.2. Необхідні умови існування екстремуму.

Теорема.Для точки екстремуму функції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Доведення. Розглянемо функцію однієї змінної, визначеної умовами теореми в деякому околі точки дійсної осі. У точці функція має екстремум. Тоді, оскільки , то або , або не існує (за теоремою для функції однієї змінної).

Аналогічно доводимо випадки .

Означення. Точки, в яких функція визначена, а її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними точкамицієї функції.

Д ля функції усі точки осі х є критичними, бо в кожній такій точці функція визначена, , а не існує. Точки екстремуму функції слід шукати лише серед її критичних точок.