5.9.2. Частинні тригонометричні підстановки.

1) Підінтегральна функція непарна відносно sinx, тобто R(–sin x, cosx)=–R(sinx, cosx). Підстановка t = cosx.

2) Підінтегральна функція непарна відносно cosx, тобто R(sinx, –cos x)=– R(sinx, cosx). Підстановка t = sinx.

3) Підінтегральна функція парна відносно sinx і cosx, тобто R(–sin x, –cos x)=R(sinx, cosx). Підстановка t=tgx (або t=ctgx).

.

Підінтегральна функція непарна відносно sinx: , тому

.

(можна перейти до більш просто: і т.д.).

(Підінтегральна функція непарна відносно cosx) =

(підінтегральна функція не змінюється при одночасній зміні знака у sinx і cosx, тому t=tgx)

.

При знаходженні таких інтегралів для пониження степеня користуються основною тригонометричною тотожністю:

.

5.9.3. Інтегрування добутку парних степенів sinx, cosx.

При обчисленні інтегралів потрібно понизити степінь тригонометричних функцій переходом до косинуса подвійного кута: . Кут подвоюється до тих пір, поки один із степенів не стане непарним.

.

5.9.4. Інтегрування добутків синусів і косинусів кратних дуг.

При знаходженні інтегралів виду , , за допомогою тригонометричних формул:

, , .

Задача зводиться до інтегрування лінійної комбінації тих же функцій (з другими аргументами).

.

5.10. Інтегрування деяких алгебраїчних ірраціональностей.

5.10.1. Інтеграли виду , де – натуральне число, – функція, що раціонально залежить від своїх аргументів.

Приклад такої функції: . До такого типу зводяться інтеграли виду: , де p, q, r, … – раціональні числа, так як, якщо n –спільний знаменник чисел p, q, r, …, то підінтегральна функція раціонально залежить від x і . Підстановка x=tⁿ раціоналізує підінтегральну функцію, тобто зводить її до раціональної функції змінної t.

.

Найменше спільне кратне показників коренів рівне 6, тому використовуємо підстановку:x=t⁶:

.

5.10.2. Інтеграли виду , де a, b, c, d–сталі, інші параметри раціоналізуються підстановкою .

.

5.10.3. Тригонометричні підстановки для інтегралів виду .

1. раціоналізується підстановкою x = a sint (абоx = a cost).

2. раціоналізується підстановкою (або , або ).

3. раціоналізується підстановкою x = a tgt (або x = a ctgt, або x = a sht).

.

Інтеграл виду , підстановка x=ctgt. , тому

.

.

В прави для самостійного розв’язування

23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.
33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.
41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.
49.	50.
51.	52.
53.	54.
55.	56.
57.	58.
59.	60.
61.	62.
63.	64.
65.	66.
67.	68.
69.	70.
71.	72.
73.	74.
75.	76.
77.	78.
79.	80.
81.

168