Нехай вектор а має початок у точці м1(х1, y1, z1), а кінець — у точці м2(х2, y2, z2). Тоді величини

є проекціями вектора a на осі х, y, z. Проекції вектора однозначно визначають вектор. Тому виконується рівність

Очевидно, що проекція на вісь х суми a + b векторів a та b дорівнює сумі проекцій на вісь х векторів a, b (рис. 3.15).

Рис. 6

● Справді, виконуються рівності

Нехай відомі проекції векторів a та b:

.

Тоді проекція суми векторів a + b дорівнює сумі відповідних проекцій векторів-доданків:

Множення вектора на число

Означення. Добутком вектора a на число  називається вектор , довжина якого дорівнює . Вектор колінеарний вектору а; має однаковий з ним напрям при і протилежний напрям при . Якщо або , то маємо , тобто добуток є нуль-вектором.

Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності. Для довільних чисел ,  та векторів a, b справджуються рівності:

(1)

Останню рівність унаочнює малюнок ( ).

Рис. 7

Ця властивість випливає з подібності трикутників із коефіцієнтом подібності .

З очевидної рівності

випливає:

Лема. Будь-який вектор a можна єдиним чином подати у вигляді суми трьох векторів, кожний із яких колінеарний одній з осей координат х, у, z.

 Справді, нехай М₁ — початок вектора a, М₂ — його кінець. Сумістимо точку М₁ із початком координат. Опустимо з точки М₂ перпендикуляр на координатну площину ху і позначимо здобуту проекцію М₃. Із точки М₃ опустимо перпендикуляр на вісь х. Відповідну проекцію позначимо М₄. Вектор М₃М₂ колінеарний осі z, вектор М₄М₃ — осі у, а вектор М₁М₄ — осі х.

Звідси, скориставшись одиничними векторами i, j, k, що, як відомо, колінеарні осям х, у, z, дістанемо:

.

Оскільки виконується рівність (рис. 8),

Рис. 8

то вектор a можна записати у вигляді:

(2)

Вектори називаються компонентами вектора a.

Отже, кожний вектор дорівнює сумі його компонентів за трьома осями координат.

Якщо вектори a та b подано за їх компонентами:

то для їх лінійної комбінації маємо

. (3)

Д ано два вектори:

.

Знайдемо за формулою (3) вектор

.

Поділ відрізка в заданому відношенні

Дано відрізок у тривимірному просторі, кінцями якого є точки М₁(х₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂). Точка М(х, y, z), узята на прямій, що проходить через точки М₁, М₂, поділяє даний відрізок у відношенні , якщо

М₁М = λММ₂.

Спроектувавши цю векторну рівність на осі х, у, z, дістанемо рівняння

.

Звідси знаходимо координати точки М:

Якщо , то М лежить між точками М₁ і М₂. У такому разі говорять, що точка М поділяє відрізок М₁М₂ внутрішнім чином. Якщо , то М не належить відрізку М₁М₂. Тоді говорять, що точка М поділяє відрізок М₁М₂ зовнішнім чином.

У частинному випадку, коли точка М є серединою відрізка М₁М₂, тобто при  = 1, маємо координати середини відрізка М₁М₂:

.

Д ано дві матеріальні точки М₁(х₁, у₁, z₁) і М₂(х₂, у₂, z₂), маса яких дорівнює відповідно m₁ і m₂. Знайдемо координати центра тяжіння М(х, у, z).

 Точка М поділяє відрізок М₁М₂ у відношенні . Отже, маємо коефіцієнти точки М:

.

У загальному випадку для системи матеріальних точок з масами координати центра тяжіння знаходяться за формулами

.