2.3. Решение слау методом квадратных корней.

Метод квадратных корней используется для решения линейной системы вида АХ = В, у которой матрица А симметрическая, т.е. для элементов выполняется условие a_ij = a_ji (i, j = 1, 2, …, n).

В нашем случае:

Условие симметричности не выполняется, т.к.

a₁₃ = 5, a₃₁ = 1, a₁₃  a₃₁ ,

a₂₃ = - 4, a₃₂ = - 2, a₂₃  a₃₂ .

Следовательно, метод квадратных корней в данном случае не может быть применен.

2.4. Решение слау методом обратных матриц.

Систему уравнений можно представить в матрич­ном виде:

А ∙ X = В,

где А^-1 - обратная матрица к квадратной матрице А =

Х = А^-1 ∙ В - решение системы уравнений.

Формула для вычисления обратной матрицы

А_-^-1= ,

где - определитель матрицы А.

Имеем:

, , .

Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная и для нее существует обратная матрица A^-1.

А_ij называется алгебраическим дополнением к элементу и равно

A_ij = (-1)^1+jМ

Минор элемента a_ij – это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца.

Отсюда А^-1 =

Согласно формуле Х = А^-1 ∙ В, получаем:

Получили: x₁ = 3 , х₂ = 2 , х₃ = 0.

2.5. Решение слау методом релаксаций.

Имеем:

, , .

Основная вычислительная формула метода релаксаций имеет вид:

Преобразуем данное выражение:

Исходная матрица имеет размер 3*3, тогда получим:

Произведем расчеты значений при параметре и ограничив число итераций с точностью 0,1 с контролем по параметру невязки:

На начальной (нулевой) итерации принимаем первичное приближение .

1 итерация:

2 итерация:

3 итерация:

4 итерация:

5 итерация:

6 итерация:

7 итерация:

8 итерация:

9 итерация:

10 итерация:

11 итерация:

12 итерация:

13 итерация:

14 итерация:

15 итерация:

16 итерация:

17 итерация:

18 итерация:

19 итерация:

20 итерация:

Занесем результаты в таблицу:

№ итерации	х1	х2	х3	1	2	3	макс 
1	0	0	0	5	12	1	12
2	0,833	1,722	0,268	4,605	6,24	0,807	6,24
3	1,601	2,506	0,536	2,529	3,424	0,803	3,424
4	2,023	2,936	0,743	1,088	2,118	0,62	2,118
5	2,204	3,29	0,914	0,398	1,378	0,634	1,378
6	2,27	3,498	1,078	0,204	1,278	0,492	1,278
7	2,236	3,722	1,24	0,464	1,322	0,488	1,322
8	2,159	3,968	1,416	0,621	1,442	0,529	1,442
9	2,056	4,243	1,613	0,747	1,611	0,591	1,611
10	1,932	4,553	1,836	0,87	1,821	0,666	1,821
11	1,787	4,905	2,088	0,991	2,063	0,759	2,063
12	1,622	5,304	2,375	1,133	2,344	0,861	2,344
13	1,433	5,758	2,701	1,288	2,664	0,98	2,664
14	1,218	6,274	3,072	1,466	3,03	1,114	3,03
15	0,974	6,86	3,494	1,672	3,448	1,264	3,448
16	0,695	7,528	3,974	1,899	3,922	1,439	3,922
17	0,378	8,287	4,52	2,16	4,463	1,636	4,463
18	0,018	9,151	5,141	2,457	5,075	1,861	5,075
19	-0,392	10,133	5,847	2,793	5,773	2,117	5,773
20	-0,858	11,25	6,65	3,176	6,566	2,408	6,566
21	-1,387	12,521	7,563	3,612	7,463	2,74	7,463

Таким образом, видно, что метод релаксаций при для данной системы не применим, происходит отдаление от .