Равносильные уравнения. Равносильность систем уравнений.
Уравнения, имеющие одни и те же корни (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали), называютравносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень - число 3. Равносильны и уравнения x2 +1 = 0 и 2x2 + 5 = 0 - ни одно их них не имеет корней. Уравнения x - 5 = 1 и x2 = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.
Равносильные преобразования.
Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот же многочлен от х, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Неравенство и системы линейных неравенств.
Линейным неравенством относительно переменной x называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:
где k и b – произвольные вещественные числа.
Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов k и b, представлено в следующей Таблице 1.
Таблица 1. – Решение неравенств первой степени
|
|
kx + b > 0 |
|
kx + b < 0 |
k > 0 |
Знак неравенства сохраняется |
|||
|
|
|
|
|
k = 0, b < 0 |
|
|
|
|
k = 0, b = 0 |
|
|
|
|
k = 0, b > 0 |
|
|
|
|
k < 0 |
Знак неравенства меняется на противоположный |
|||
|
|
|
|
|
Системы линейных неравенств
Рассмотрим решение систем линейных неравенств на примерах.
Пример 1. Решить систему неравенств
Решение. Решим каждое из неравенств системы:
Изобразив на одной координатной прямой (Рис. 1) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.
Рис.1
Ответ: 
Пример 2. Решить систему неравенств
Решение. Решим каждое из неравенств системы:
Изобразив на одной координатной прямой (Рис. 2) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.
Изобразив на одной координатной прямой (Рис. 1) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.
