Проекция. Проекцией отношения а по атрибутам X, y,..., z, где каждый из атрибутов принадлежит отношению а.

A [ X, Y, …, Z ] называется отношение с заголовком {X, Y,..., Z} и телом, содержащим множество всех кортежей {Х:х, Y:y,..., Z:z}, таких, для которых в отношении А значение атрибута Х равно х, атрибута Y равно y, ..., атрибута Z равно z.

Таким образом, с помощью оператора проекции получено «вертикальное» подмножество данного отношения, т.е. подмножество, получаемое исключением всех атрибутов, не указанных в списке атрибутов, и последующим исключением дублирующих кортежей (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9 - Исходное отношение A и результат операции проекции отношения A по атрибуту Город

Никакой атрибут не может быть указан в списке атрибутов более одного раза. Синтаксис позволяет опустить список атрибутов совсем (вместе с квадратными скобками). Действие такой операции эквивалентно указанию списка всех атрибутов исходного отношения, т.е. такая операция представляет собой тождественную проекцию. Другими словами, имя отношения является допустимым реляционным выражением. Проекция вида А[ ], т.е. такая, в которой список атрибутов не пропущен, но пустой, тоже допустима. Она представляет собой «нулевую» проекцию.

Естественное соединение. Операция соединения имеет несколько разновидностей. Однако наиболее важным, без сомнения, является естественное соединение, причем настолько, что для обозначения исключительно естественного соединения почти постоянно используется общий термин «соединение».

Пусть отношения А и Б имеют заголовки {Xl, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn} и {Yl, Y2, ..., Yn, Zl, Z2, ..., Zp} соответственно; т.е. атрибуты Yl, Y2, ..., Yn (и только они) ‑ общие для двух отношений; Х1, Х2, ... ,Хm – остальные атрибуты отношения A; Zl, Z2, ..., Zp ‑ остальные атрибуты отношения Б. Предположим также, что соответствующие атрибуты (т.е. атрибуты с одинаковыми именами) определены на одном и том же домене. Рассматривать выражения {X1, Х2, ..., Хm}, {Y1, Y2, ..., Yn} и {Zl, Z2, ..., Zp} как три составных атрибута X, Y и Z соответственно. Тогда естественным соединением отношений А и Б (A JOIN Б) называется отношение с заголовком {X, Y, Z} и телом, содержащим множество всех кортежей {Х:х, Y:y, Z:z}, таких, для которых в отношении А значение атрибута X равно х, а атрибута Y равно у, и в отношении Б значение атрибута Y равно у, а атрибута Z равно z.

Пример операции естественного соединения приведен на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10 - Исходные отношения A и Б и результат операции естественного соединения.

Соединение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности. Отсюда следует, что выражения:

(A JOIN Б) JOIN В и A JOIN (Б JOIN В) могут быть однозначно упрощены к следующему: A JOIN Б JOIN В. Кроме того, выражения: A JOIN Б и Б JOIN A эквивалентны.

Q-соединение. Операция Q-соединения предназначается для тех случаев (сравнительно редких, но, тем не менее, встречающихся), когда необходимо соединить вместе два отношения на основе некоторых условий, отличных от эквивалентности. Пусть отношения А и Б не имеют общих имен атрибутов (как и в рассмотренной выше операции декартова произведения) и Q определяется так же, как и в операции выборки. Тогда Q-соединением отношения А по атрибуту Х с отношением Б по атрибуту Y называется результат вычисления выражения (A TIMES Б) WHERE X Q Y

Q-соединение, таким образом, это отношение с тем же заголовком, что и при декартовом произведении отношений A и Б, и с телом, содержащим множество кортежей, принадлежащих этому декартову произведению и вычисление условия XQY дает значение истина для этого кортежа. Атрибуты Х и У должны быть определены на одном и том же домене, а операция должна иметь смысл для этого домена.

Деление. Пусть отношения А и Б имеют заголовки: {X1, X2,..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn} и {Y1, Y2, ..., Yn} соответственно, т.е. атрибуты Y1, Y2,..., Yn — общие для двух отношений, и отношение A имеет дополнительные атрибуты X1, Х2, ... ,Хm, а отношение Б не имеет дополнительных атрибутов. Отношения А и Б представляют соответственно делимое и делитель. Предположим также, что соответствующие атрибуты (т.е. атрибуты с одинаковыми именами) определены на одном и том же домене. Пусть теперь выражения {X1, Х2, ..., Хm} и {Y1, Y2, ..., Yn} обозначают два составных атрибута Х и Y соответственно. Тогда делением отношений А на Б (A DIVIDEBY Б) называется отношение с заголовком {X} и телом, содержащим множество всех кортежей {X:x}, таких что существует кортеж {Х:х, Y:y}, который принадлежит отношению A для всех кортежей {Y:y}, принадлежащих отношению Б. Нестрого это можно сформулировать так: результат содержит такие X-значения из отношения А, для которых соответствующие Y-значения (из А) включают все Y-значения из отношения Б.

Пример операции деления приведен на рисунке 1.11. Отношение С является проекцией отношения Студент, а отношение Д – проекцией отношения Дисциплина. Результат операции деления С DIVIDE BY Д фактически содержит номера студентов, которые сдавали дисциплины с номерами 1 и 5.

Рисунок 1.11 - Пример операции деления

Восемь приведенных операторов, определенных сотрудником фирмы IBM Эдгаром Коддом, не представляют минимального набора операторов, так как не все из них примитивны, их можно определить в терминах других операторов. Например, естественное соединение – это проекция выборки произведения. Фактически три операции из этого набора, а именно соединение, пересечение и деление, можно определить через остальные пять. Операции выборки, проекции, произведения, объединения и вычитания можно рассматривать как примитивные в том смысле, что ни одна из них не выражается через другие. Поэтому минимальный набор будет состоять из этих пяти примитивных операций. Однако на практике другие три операции (в особенности соединение) настолько часто используются, что имеет смысл обеспечить их непосредственную поддержку, несмотря на то, что они не примитивны.

После описания Коддом первоначальных восьми операторов было предложено множество новых операторов. Рассмотрим два таких оператора – EXTEND (расширение) и SUMMARIZE (подведение итогов), которые удачно дополняют основной набор восьми операторов.

Операция расширения. С помощью операции расширения из определенного отношения создается новое отношение, которое похоже на начальное, но содержит дополнительный атрибут, значения которого получены посредством некоторых скалярных вычислений. На рисунке 1.12 показаны исходное отношение и результат операции расширения: