2. Теоремы о числе действительных корней.

Теорема Декарта.

Число положительных корней многочлена f(x) с действительными коэффициентами (подсчитываемых каждый столько раз, какова его кратность) либо равно числу перемен знака в ряду коэффициентов f(x) либо на четное число меньше.

Пример 1.

.

Решение.

Знаки коэффициентов: +, –, +, то есть имеем две перемены знака. Число положительных корней многочлена f(x) либо 2, либо 0. . Здесь в ряду коэффициентов одна перемена знака. Число отрицательных корней f(x) равно 1.

Метод Штурма, определения числа действительных корней

Последовательность отличных от нуля многочленов

(1)

с действительными коэффициентами называется рядом Штурма для многочлена f(x) если:

1) Когда действительная переменная x возрастая проходит через корень многочлена f(x) произведение меняет знак с – на +;

2) Никакие два соседних многочлена , не имеют общих действительных корней;

3) Если для некоторого данного числа α и некоторого номера k=1,…,m-1, , то числа и имеют разные знаки;

4) – не имеет действительных корней.

Последовательность многочленов (1) называется рядом Штурма для многочлена f(x) на отрезке [a,b], если свойства 1 – 4 выполнены на этом отрезке.

Теорема Штурма.

Пусть f(x) – многочлен с действительными коэффициентами, a и b (a<b) – действительные числа, не являющиеся его корнями, (1) – ряд Штурма на отрезке [a,b].

Тогда число различных действительных корней многочлена f(x) лежащих на отрезке [a,b] равно разности между числом перемены знака W(a) в ряду значений и числом перемен знака W(b) в ряду значений .

Построение ряда Штурма.

Берется многочлен , его производная , затем остаток , получающийся при делении на , с обратным знаком , затем остаток , полученный при делении и , с обратным знаком , остаток от деления на с обратным знаком и так далее до последнего неравного 0 остатка . Если не имеет действительных корней, то построенный ряд многочленов есть ряд Штурма для многочлена f(x); если имеет действительные корни, но все они лежат вне [a,b], то это – ряд Штурма на [a,b].

Если многочлен имеет действительные корни на отрезке [a,b], то нужно разделить на и взять полученные частные – это и будет ряд Штурма для многочлена

,

Имеющего точно те же корни, что и f(x), только кратности 1. Разность W(a) – W(b) (a и b – действительные числа, не являющиеся корнями f(x)), вычисленная для этого ряда, дает число различных действительных корней многочлена на [a,b].

Пример.

Найти число различных действительных корней многочлена , расположенных на отрезке [-1,1].

Рациональные дроби

Рассмотрим

, (1)

где

, – многочлен n – степени от x, – константа.

Теорема (о разложении правильной рациональной дроби)

Если и – многочлены степени m и n соответственно, причем m<n и коэффициенты этих многочленов действительные числа, а представляется в виде (1), то

. (2)

Все коэффициенты разложения (2) являются действительными числами и определяются однозначно.

Пример 1.

Представить рациональную дробь в виде простейших дробей над полем вещественных чисел.

Решение.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x.

Решая систему получим: , , , .

Имеем разложение

.

Пример для самостоятельного решения.

Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем комплексных чисел.

Указание.

Приравниваем знаменатель к нулю , , . Извлекая корень, получим 4 корня . Представим . Данная дробь будет иметь вид

.

К последней дроби применяем теорему о разложении правильной рациональной дроби.