Упростите вычисления
27. Найдите сумму 1 + 2 + 3 + … + 100.
28. Чему равно число 97 95 + 93 91 + … + 3 1?
29. Сколько матчей будет сыграно в шахматном турнире с 16 участниками, если турнир проводится
а) по «круговой» системе (каждый играет одну партию с каждым),
б) по «кубковой» системе (проигравший выбывает).
Задачи со спичками
30. Переложите 4 спички так, чтобы получилось 3 квадрата.
31. Переложите 5
спичек, чтобы получилось 3 квадрата.
32. Переложите 5
спичек, чтобы получилось 2 квадрата.
33. Уберите 8 спичек,
чтобы получилось
а) 2 квадрата,
б) 4 квадрата.
34. Корова смотрит налево. Переложите 2 спички так, чтобы корова смотрела направо.
Разрезание
35. Разрежьте прямоугольник 3х9 на 8 квадратов.
36. Разрежьте квадрат на два равных пятиугольника.
37. Разрежьте плоскость
а) на равные треугольники,
б) на равные пятиугольники.
38. Разрежьте прямоугольник 9х4 на такие две части, чтобы из них можно было сложить квадрат 6х6.
39. Разрежьте треугольник на такие три части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
40.
Переложите четыре плитки (они имеют
форму прямоугольных треугольников) в
квадратной коробке так, чтобы свободное
место приняло форму квадрата.
Примечание: можно объяснить школьникам, что эта задача связана с доказательством теоремы Пифагора.
Числовые ребусы
В задачах 41 46 замените звездочки цифрами так, чтобы равенства стали верными.
41. * 0 * *
3 * 0 6
3 1 2 4
42. 5 2
х * *
* *
* *
* * *
43. * * * * * * * = 1
44. * * *
х * 2
* 0 8
* 6 *
* 1 2 *
45. * 8 * = 8 * *
46. 6 *
х * * *
* *
* *
* *
* * * 6
Перестановки
47. Расставьте у стен квадратной комнаты 10 стульев так, чтобы вдоль каждой стены стульев было поровну.
48. Квадратную крепость охраняют 16 часовых: по 3 на середине каждой стены и по 1 в каждом углу. Переставьте часовых так, чтобы каждую стену охраняли
а) 6 человек,
б) 7 человек.
49. Квадратную крепость охраняют 24 часовых, по 3 в каждом углу и по 3 на середине каждой стены.
а) Добавьте трех часовых, чтобы вдоль каждой стен оставалось по 9 человек.
б) Уберите трех часовых, чтобы вдоль каждой стены оставалось по 9 человек.
50. Составьте «магический квадрат»
а) 3х3,
б) 4х4,
в) 5х5.
Магическим квадратом называют квадратную таблицу, в которой каждое число встречается по одному разу, а сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке одна и та же.
51. Можно ли составить магический квадрат
а) 2х2,
б) из первых 9 простых чисел?
52. а) Расставьте в вершинах куба целые числа от 1 до 8 так, чтобы сумма чисел на гранях была равна одному и тому же числу.
б) Можно ли расставить эти числа так, чтобы сумма чисел на ребрах была равна одному и тому же числу?
Логические задачи
В задачах 53 59 действие происходит на острове, местные жители которого или всегда говорят правду (рыцари), или всегда лгут (лжецы).
53. Некто говорит: «Я лжец». Является ли он местным жителем?
54. Островитянин А сказал в присутствии островитянина В: «По крайней мере один из нас лжец». Кто такой А и кто такой В?
55. Собрались несколько островитян и каждый сказал остальным: «Вы все лжецы». Сколько рыцарей среди этих аборигенов?
56. Семь человек сидели за круглым столом. Каждый сказал: «Мои соседи лжец и рыцарь».
Докажите, что все они лжецы.
57. Три человека, один из которых рыцарь, другой лжец, а третий приезжий (то есть может солгать, а может сказать правду), обменялись фразами:
А: «Я приезжий».
В: «А и С не лжецы».
С: «В приезжий».
Кто из них рыцарь, кто лжец, а кто приезжий?
58. Как за один вопрос узнать, куда ведет дорога в город рыцарей или город лжецов?
59. Как за один вопрос местному жителю узнать, есть ли у него ручной крокодил?
60. На острове три города. Жители одного из них всегда лгут, жители другого всегда говорят правду, а жители третьего, Середина-на-половине, по очереди то лгут, то говорят правду. Однажды в пожарной части острова раздался звонок: «Приезжайте скорее, у нас пожар» «Где?» «В Середине-на-половине».
Что должны делать пожарные?