3. Методические указания к выполнению контрольной работы.

Приводятся варианты контрольных работ по следующим разделам курса:

1. Предел функции, предел последовательности

(задача 4.№Варианта);

2. Производная функции одной переменной

(задача 5. №Варианта);

3. Исследование функции и построение графика

(задача 6.№Варианта);

4. Функции двух переменных (задача 7.№Варианта);

5. Неопределенный интеграл (задача 8.№Варианта);

6. Определенный интеграл (задача 9.№Варианта);

7.Дифференциальные уравнения (задача 10.№Варианта);

8.Ряды (задача 11.№Варианта).

Выбор варианта контрольной работы

Номер выполняемой работы определяется путем деления шифра (номера зачетной книжки) на 20 и равен остатку, получающемуся при делении. Например, для зачетной книжки №1773 это вариант №13.

Задача 4.

4.1 – 4.20. Найти следующие пределы.

4.1 а) б)

4.2. а) б)

4.3. а) б)

4.4. а) б)

4.5. а) б)

4.6. а) б)

4.7. а) б)

4.8. а) б)

4.9. а) б)

4.10. а) б)

4.11. а) б)

4.12. а) б)

4.13. а) б)

4.14. а) б)

4.15. а) б)

4.16. а) б)

4.17. а) б)

4.18. а) б)

4.19. а) б)

4.20. а) б)

Указания к задаче 4: предел функции, предел последовательности.

Областью определения функции называют те значения , для которых данное выражение имеет смысл и значения конечны. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если для любого числа > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство , то число называют пределом функции в точке , то есть

A= .

Число В называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого числа > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство . Левосторонний предел обозначают следующим образом: = .

Аналогично, число называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого числа > 0 существует числосла 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 > 0, такое, что из неравенства следует и С= .

Например, для функции в точке имеет смысл говорить только о левостороннем пределе, а для функции в точке – только о правостороннем.

Можно доказать, что для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.

Если для любого числа существует число > 0, такое, что при всех значениях из -окрестности будет выполнено условие , то предел функции в точке равен бесконечности: .

Если же для любого числа существует число , такое, что при всех , то является пределом функции при , стремящемся к бесконечности: .

Важным частным случаем последнего определения является предел числовой последовательности. Если функция задана на множестве натуральных чисел, то такую функцию называют числовой последовательностью ( = ) , а ее предел – пределом последовательности Таким образом, число является пределом последовательности, если для любого числа существует число , такое, что при всех выполняется неравенство .

Отметим следующие свойства пределов (эти свойства справедливы в том случае, если существуют пределы указанных функций):

1. Если существует, то он единственный.

2. ( постоянное число);

3.

4.

5. ( ).

Дадим несколько определений, важных для дальнейшего.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется ограниченной в окрестности точки , если существует число , такое, что при всех из этой окрестности.

Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть и – бесконечно малые, а – ограниченная функция в окрестности точки . Тогда верны утверждения:

1. – бесконечно малая величина в окрестности точки ;

2. – бесконечно малая величина в окрестности точки ;

3. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

4. Если существует , то это равносильно тому, что в окрестности точки , где – бесконечно малая величина в окрестности этой точки;

5. Для монотонно возрастающей функции ( при ) или монотонно убывающей ( при ) в окрестности точки всегда существует , который конечен, если ограничена в окрестности точки .

Рассмотрим две бесконечно малые величины и в окрестности точки . Если , то говорят, что – величина более высокого порядка малости, чем . Записывают это следующим образом:

.

Если , то и называют эквивалентными бесконечно малыми величинами в окрестности точки , то есть

~ при .

Также следует знать, что величина, обратная бесконечно малой является бесконечно большой, а величина, обратная бесконечно большой является бесконечно малой величиной.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить предел .

Решение: Очевидно, что числитель дроби при стремится к . Аналогично знаменатель стремится к . Тогда вся дробь будет стремиться к . Таким образом, .

Здесь мы использовали свойства пределов, о которых говорилось выше.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение: Очевидно, , а при . Таким образом, дробь будет стремиться к бесконечности, так как знаменатель – бесконечно малая величина, а обратная ей величина – бесконечно большая.

Поскольку числитель в окрестности точки ограничен, получаем: .

Пример 3: Вычислить предел .

Решение: Если подставить в рассматриваемую функцию, то получим нуль в числителе и в знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностью вида . Встречаются также неопределенности вида , , , и000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 другие, для каждой из которых существуют свои способы вычисления пределов, то есть раскрытия неопределенности.

Вернемся к примеру. Разложим числитель на множители:

.

Рассмотрим , где и – многочлены степени и :

Пусть Разделим числитель и знаменатель почленно на

Нетрудно видеть, что при все слагаемые числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, по аналогии с примером 2.

Если , то , а дробь в знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:

так как величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина.

Рассмотрим теперь случай Поделив числитель и знаменатель почленно на , получим:

Таким образом,

Рассмотрим два предела: и .

С помощью несложных оценок можно показать, что Вычисление второго предела требует бóльших усилий, но можно доказать, что он равен числу (основанию натурального логарифма): Доказательства можно найти в учебниках по математическому анализу.

В силу важности этих пределов их называют замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:

; ; ;

; .

Используя эти и другие соотношения можно получить таблицу эквивалентных функций при :

1. ~ ,

2. tg ~ ,

3. arcsin ~ ,

4. arctg ~ ,

5.1-cosx ~ x²/2,

6. ~ ,

7. ~ ,

8. ~ ,

9. ~ .

Бесконечно большой многочлен (при ) эквивалентен своей старшей степени с коэффициентом.

Например, при 3х⁵+2х²–8 ~ 3х⁵.

При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых (бесконечно больших) на отношения эквивалентных им бесконечно малых (бесконечно больших) величин.

Пример 4. Вычислить предел:

.

Решение:

Очевидно, что все подкоренные выражения при стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках – к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:

Этот предел можно вычислить другим способом – все многочлены в подкоренных выражениях заменить старшими степенями с коэффициентами (используем эквивалентные функции), затем числитель и знаменатель также заменить старшими степенями с коэффициентами. Выглядит это так:

Пример 5. Вычислить предел .

Решение: Подставив в заданную функцию , убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида . Известно, что если

– корень многочлена , то , где – многочлен степени .

Следовательно, . Проще всего узнать вид многочлена , разделив на . Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:

0

Следовательно, . Тогда, раскладывая на множители разность кубов в знаменателе, получим:

Пример 6. Вычислить предел

.

Решение: Это неопределенность вида . Домножим и поделим функцию, стоящую под знаком предела, на сопряженную сумму :

В последнем равенстве мы получили деление 5 на бесконечность. Это можно рассмотреть, как умножение 5 на величину, обратную бесконечно большой – т.е. на 0 (бесконечно малую), поэтому получили 0.

Пример 7. Вычислить предел

.

Решение: В данном случае имеем дело с неопределенностью вида . Преобразуем выражение в скобках, выделив единицу и бесконечно малую функцию:

Тогда

Так как при – бесконечно малая величина (степень знаменателя больше степени числителя), то

Поскольку , получаем:

Пример 8. Найти предел

Решение: Неопределенность вида . При ~ . Поэтому ~ .

Далее, .

Поэтому

Задача 5.

5.1 – 5.20.Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

Указания к задаче 5: производная функции одной переменной.

Пусть на интервале задана функция . Возьмем некоторое число и придадим аргументу приращение . Тогда значение функции получит приращение . Рассмотрим отношение . Если при существует конечный предел дро­би , то этот предел называют произвoдной функции в точке и обозначают симво­лом (или ):

.

Нахождение производной называют дифференцированием функции.

Функцию называют дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде:

.

Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом .

Выражение называют дифференциалом функции и обозначают . Приращение аргумента называют дифференциалом независимой переменной и обозначают . Таким образом, .

Геометрически дифференциал есть приращение касательной, проведенной к графику функции в точке , и может быть как меньше, так и больше приращения функции . Для линейной функции

Если производная существует для всех из интервала , то тем самым производная определена как функция в этом интервале, и можно говорить о производной от этой функции, называемой второй производной функции : Аналогично вводится понятие высших производных (третья производная и т.д.).

Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.

Основные правила дифференцирования:

1. .

2. ( – постоянная) .

3.

4. .

5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.

Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций:

1. ( – постоянная)

2.

3.

4. ( – постоянная)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y > 0.

Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной .

Рассмотрим примеры вычисления производных.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение: Применяя правила 4, 1 и таблицу производных, получим:

.

Пример 2. Найти , если .

Решение: Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

Пример 3. Найти производную функции .

Решение: Применим логарифмическую производную:

Пример 4. Найти производную функции , если

.

Решение: Применим правило дифференцирования неявной функции:

Задача 6.

6.1 – 6.20. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

6.11. 6.12.

6.13. 6.14.

6.15. 6.16.

6.17. 6.18.

6.19. 6.20.

Указания к задаче 6. Исследование функции и построение графика.

Внутренняя точка интервала называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство

( ).

Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции: Если ( ) в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:

1.найти область определения функции;

2.найти производную функции;

3.приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;

4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Необходимое условие экстремума функции: Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, на­зывают точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума функции: Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки . Заметим, что – вторая производная от функции , полученная повторным дифференцированием этой функции:

.

График функции называется выпуклым вверх в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)

График функции называется выпуклым вниз в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)

Достаточные условия выпуклости вверх (вниз) графика функции: Если в интервале , то график функции является выпуклым вверх в этом интервале; если же , то в интервале график функции является выпуклым вниз.

Точка графика функции, переходя через которую график функции меняет характер выпуклости, называется точкой перегиба. Если – абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Прямая l называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки М(х,у) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов этой функции равен бесконечности:

или .

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции (в тех точках, в которых функция не определена).

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если существует предел функции равный b при :

или

Прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если существуют пределы:

или .

При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана:

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность (нечетность), периодичность функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Определить точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости графика функции.

8. Определить асимптоты.

9. Найти предельные значения функции при аргументе, стремящемся к границам области определения.

В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв.

Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Справа от х = -1 график уходит вверх, а слева – вниз.

Поскольку и , то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0,0) является точкой пересечения функции с осями координат.

Вычислим производную:

.

Производная обращается в нуль при и .

Построим интервалы монотонности (рис. 3):

+ _ _ +

-2 -1 0 х

Рис. 3

Функция возрастает при и убывает при . Точка – точка максимума, а точка – точка минимума функции.

Найдем вторую производную:

.

Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый вверх, а в интервале – выпуклый вниз. Точек перегиба функция не имеет.

Выясним, имеет ли функция наклонные асимптоты.

,

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при и при .

Построим график исследуемой функции:

Рис. 4

Задача 7.

7.1 – 7.20. Найти градиент функции z в точке М.

7.1 .

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7 .20

Указания к задаче 7: функции двух переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области , являющейся частью плоскости XOY. Частной производной от функции по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у.

Частной производной по у называется производная

вычисленная при постоянном х.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

При изменении и частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:

Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда , то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.

Градиентом функции в точке называется вектор, координатами которого являются частные производные:

Этот вектор указывает в точке М₀ направление наискорейшего роста функции .

Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором , производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:

где знак модуля означает длину вектора градиента в точке , а – угол между градиентом и направлением .

Пример. Найти градиент функции в точке .

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.

.

Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:

.

Находим значения частных производных в точке :

,

Ответ: .

Задача 8.

8.1 – 8.20. Вычислить неопределенные интегралы.

8.1

8.2 .

8.3 .

8.4 .

8.5 .

8.6 .

8.7 .

8.8 .

8.9 .

8.10 .

8.11 .

8.12 .

8.13 .

8.14 .

8.15 .

8.16 .

8.17 .

8.18 .

8.19 .

8.20 .

Указания к задаче 8: неопределенный интеграл.

Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство .

Например, функция является первообразной для функции , так как при любом .

Можно заметить, что первообразной для является не только но и функция + С, где С – любая постоянная. Это справедливо для любой функции , имеющей первообразную.

Теорема. Пусть является первообразной для функции в некотором интервале . Тогда функция , где С – любая постоянная, также будет первообразной для .

Из теоремы следует, что любые две первообразные для одной и той же функции могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое.

Если – первообразная для функции , то совокупность всех первообразных , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, = .

Функция называется подынтегральной функцией, произведение – подынтегральным выражением, переменная – переменной интегрирования, а символ – знаком интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции _. Операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.