5.Средние индексы

Средние индексы – это вторая форма исчисления общих индексов, применяемая в случаях, когда невозможно вести учет показателей в натуральных измерителях (коммерческие организации, торговля, где в основном ведется стоимостной учет), или в плановых расчетах.

Во всех случаях, когда информация о физических объемах в натуральном исчислении отсутствует, для определения изменения показателей используется средняя форма индексов.

В практических расчетах используются два вида средних индексов:

• средний индекс качественного показателя,

• средний индекс физического объема.

Каждый из средних индексов может быть рассчитан по формулам средней арифметической взвешенной или средней гармонической взвешенной.

Средний индекс физического объема используется в тех случаях, когда отсутствует информация об объемах выпуска в натуральных измерителях.

Средняя арифметическая форма индекса физического объема применяется, когда имеется информация о стоимости реализованной продукции в базисном периоде, и об индивидуальных индексах физического объема i_q.

Формулу среднеарифметического индекса физического объема можно получить на основе агрегатного индекса физического объема Ласпейреса , заменив физические объемы текущего периода на их выражение через индивидуальный индекс физического объема i_q.

, следовательно q₁= i_q*q₀ ;

Тогда:

(5.1)

где i_q - усредняемая величина, а p₀q₀ - статистический вес.

П олученная формула является формулой среднеарифметического индекса.

Среднеарифметический индекс показывает, во сколько раз в среднем изменится физический объем в планируемом (предстоящем) периоде. Таким образом, среднеарифметический индекс физического объема есть средний из индивидуальных индексов физического объема.

Разница между числителем и знаменателем характеризует изменение стоимости продукции в планируемом периоде.

Δpq_q = Σi_qp₀q₀− Σq₀p₀ .

Пример расчета среднеарифметического индекса физического объема.

Известна стоимость реализованной продукции в текущем периоде (товаров А, В и С) и планируемое изменение физических объемов в предстоящем периоде, в % (таблица 5.1.). Необходимо определить среднее изменение общего объема продаж в планируемом периоде.

Таблица 5.1

Данные для расчёта среднего индекса

Вид продукции	Продукция текущего периода тыс. руб	Изменение физического объёма в планируемом периоде, %	Вспомогательные расчёты
				iqp0q0
A	24000	+10	1,1	26400
B	40000	+5	1,05	42000
C	15000	-20	0,8	12000
Σ	79000	×	×	80400

По данным таблицы 5.1 рассчитаем для каждого товара индивидуальный индекс:

i_qA = 100+10/100 = 1,1

i_qB = 100+5/100 = 1,05

i_qC = 100 – 20/100 = 0,8

Тогда величина среднеарифметического индекса физического объема составит I_{q ср.} = Σi_qp₀q₀ / Σq₀p₀ = 1,018 - в планируемом периоде прирост объема продукции в среднем по данной группе товаров составит приблизительно 1,8%, что соответствует общей сумме прироста объема продаж Δpq_q = 80400 − 79000 =1400 тыс. руб. Этот прирост произойдет за счет изменения физических объемов продаж.

Средний индекс физического объема можно рассчитать по формуле средней гармонической взвешенной. Она применяется в случае, если исходная информация представлена индивидуальными индексами физического объема i_q (или их легко рассчитать), или фактической стоимостью продукции текущего периода q₁p₁.

Формула среднего геометрического индекса физического объема может быть получена из агрегатной формы общего индекса физического объема Пааше:

,

которая показывает, во сколько раз изменяется стоимость продукции за счет изменения физических объемов.

В указанной формуле физические объемы базисного периода q₀ заменяются их выражением через индивидуальный индекс физического объема:

Если: , то

Таким образом, средний гармонический индекс физического объема рассчитывается по формуле:

(5.2)

где i_q - усредняемая величина;

p₁q₁ - статистический вес.

Разница между числителем и знаменателем дает показатель среднего изменения стоимости в текущем периоде за счет изменения физического объема:

Пример расчета: необходимо определить среднее изменение стоимости продукции за счет изменения физических объемов продаж в текущем периоде по данным, приведенным в таблице 5.2.

Таблица 5.2.

Данные для расчета среднего геометрического индекса физического объёма

Вид продукции	Продукция текущего периода , тыс. руб	Изменение в текущем периоде, %	iq	1/iq	1/iq *q1p1
A	24000	+20%	1,2	0,833	20000
B	40000	+12,5%	1,25	0,80	32000
C	15000	-25%	0,75	1,33	20000
Итого:	79000	×	×	×	72000

= 79000/72000 = 1,097 = 109,7%

Общий прирост стоимости продукции в текущем периоде за счет изменения физических объемов составил Δpq_p = 79000 − 72000 = 5000 тыс. руб. Такое же значение прироста стоимости продукции получаем по формуле агрегатного индекса физического объема Пааше.

Содержание и расчет среднего индекса качественного показателя рассмотрим на примере цен.

Общий индекс цен в средней арифметической форме используется в плановых расчетах (при прогнозировании). Информация для расчета должна быть представлена в виде индивидуальных индексов цен или планируемых изменений цен и стоимости продукции базисного периода (отчетного).

Формулу для расчета общего индекса цен в средней арифметической форме легко получить преобразованием формулы агрегатного индекса цен Ласпейреса:

выразив цены отчетного периода p₁ через индивидуальные индексы цен i_p и цены базисного периода p₀ :

Следовательно p₁ = i_p * p₀. Тогда формула для расчета среднего арифметического индекса цен имеет вид:

(5.3)

где i_p - усредняемая величина,

p₀q₀- статистический вес усредняемой величины.

Средний арифметический индекс цен показывает, во сколько раз в среднем изменится стоимость продукции предстоящего периода за счет изменения цен. Разность числителя и знаменателя Δpq_p = Σi_pp₀q₀ − Σ p₀q₀ определяет общее изменение стоимости продукции предстоящего (планового) периода за счет изменения цен.

Пример расчета: известны объемы продаж и цены на продукцию по 3-м видам товаров, данные приведены в таблице 5.3.

Таблица 5.3.

Данные для расчета среднего арифметического индекса цен

Вид товара	Объём продаж в текущем периоде, шт.	Оптовые цены		Вспомогательные расчёты
		Текущие p0	Плановые p1	ip	ipp0q0
A	24000	20	22	1,1	26400
B	40000	16	20	1,25	50000
C	15000	20	10	1,0	15000
Итого:	79000	×	×	×	91400

= 91400/79000 =1,157 = 115,7% .

В предстоящем периоде средний рост стоимости продукции за счет роста цен составит 115,7% или Δpq_p = 91400 − 79000 = 12400 тыс. руб.

Средняя гармоническая форма общего индекса цен используется, когда информация представлена в виде индивидуальных индексов цен или их изменений и стоимости продукции текущего периода p₁q₁ .

Формулу для расчета среднего гармонического индекса цен можно получить преобразованием агрегатного индекса цен Пааше, заменив цены базисного периода p₀ его выражением через индивидуальный индекс цен i_p. Так как

, то p₀ = p₁/i_p ; следовательно

(5.5)

Средний гармонический индекс цен I_p показывает, во сколько раз в среднем изменилась стоимость продукции текущего периода за счет изменения цен:

Разность между числителем и знаменателем формулы показывает абсолютное изменение стоимости продукции за счет изменения цен:

(5.6)

Пример расчета индекса цен в гармонической форме приведен в таблице 5.4.

Таблица 5.4

Расчет среднего гармонического индекса цен

Вид продукции	Стоимость продукции, тыс. руб		Изменение цен в текущем периоде, %	Расчёт индексов
	p0q0	p1q1
A	18000	24000	11	1,11	21600
B	30000	40000	7	1,07	37500
C	20000	15000	Не изменилась	1,00	15000
Итого:	68000	79000	×	×	74100

По данным таблицы 5.4. = 79000/74100 = 1,066 =106,6%, следовательно, в текущем периоде изменение цен привело к росту стоимости продукции в 1,066 раза или на Δp = 79000 − 74100 = 4900 тыс. руб.

Далее мы рассмотрим средние индексы сезонности - аналитические показатели рядов динамики, характеризующие сезонные колебания.

Сезонными колебаниями называют внутригодичные, постоянно повторяющиеся изменения изучаемых явлений. При анализе рядов внутригодовой динамики получают количественные характеристики, отражающие характер изменения показателей по месяцам годового цикла.

Сезонные колебания описывают индексами сезонности, которые рассчитываются как отношение фактического значения показателя к некоторому теоретическому (расчетному) уровню , где i - порядковый номер сезонного цикла (года), j - порядковый номер внутрисезонного периода (месяца)

(5.7)

Полученые значения подвержены случайным отклонениям, поэтому производится усреднение по годам и получение средних индексов сезонности для каждого периода годового цикла (месяца)

(5.8)

В зависимости от характера изменений ряда динамики формула может рассчитываться разными методами.

Рассмотрим самый простой метод - метод постоянной средней. Метод может применяться для рядов динамики, где отсутствуют какие-либо тенденции повышения/понижения, либо же они незначительны. Иными словами, наблюдаемая величина колеблется около какого-то постоянного значения.

Здесь

, где

средняя по каждому внутрисезонному периоду j (месяцу) для всех n сезонов

общая средняя по всем сезонам (n) и внутрисезонным периодам (m)