1.3. Некоторые сведения из тензорного анализа
П
ри
описании многих явлений часто встречается
ситуация, когда одна векторная величина
является функцией другой векторной
величины. Так, например, сила
,
действующая на элементарную площадку
в точке А
тела зависит от ориентации этой площадки,
которая задается вектором нормали
,
т. е.
(рис. 1.5). Аналогично, вектор
плотности тока в анизотропном проводнике
не параллелен вектору
напряженности электрического поля, а
является ее функцией
.
Установление вида этих функций является
задачей механики и физики, но в любом
случае приходим к необходимости введения
нового понятия – пары векторов.
1.3.1. Определение тензора второго ранга
Простейшим тензором второго
ранга является диада –
упорядоченная пара
векторов
,
которая записывается единым символом
(или
); знак (
) (или отсутствие знака) называется
знаком тензорного умножения. Термин
«упорядоченная» означает, что
.
Тензоры будем обозначать
буквами с двойной чертой:
.
Далее знак ( ) использовать не будем. На множестве диад вводятся правила:
1. Распределительный закон по отношению к первому и второму векторам:
.
2.Сочетательный закон по отношению к скалярному множителю:
.
3. Распределительный закон по отношению к скалярному множителю:
.
4.Существование
нулевой диады:
.
5. Под суммой двух и более диад
будем понимать неупорядоченную
совокупность
.
Рассматривая сумму двух диад
,
видим, что она не может быть записана в
виде одной диады, за исключением случаев,
сводящимся к правилам (1–3). Аналогично,
нельзя свести к одной диаде и сумму
б
льшего
числа диад, т. е. правила (1–5) выводят
нас за пределы множества диад (множество
незамкнутое). Нетрудно убедиться, что
минимальной неупрощаемой в общем случае
совокупностью, к которой может быть
приведена сумма любого числа диад,
является сумма трех диад. Действительно,
сумма, например, четырех диад в силу
линейной зависимости в трехмерном
пространстве четырех и более векторов
записывается в виде суммы трех диад:
.
Определение: Тензором
второго ранга называется неупорядоченная
сумма любого конечного
числа диад
.
По поводу этого определения сделаем замечание. Тензор в виде одной диады иногда называют линейным тензором, в виде суммы двух диад – плоским, а в виде неупрощаемой суммы трех диад полным [1]. Смысл этих терминов станет понятным далее.
1.3.2. Операции с тензорами второго ранга
Если тензор входит в определение или доказываемую формулу линейно, то его можно для сокращения записи заменять одной диадой; далее будем этим иногда пользоваться.
1. Транспонирование
и разложение тензора на симметричную
и кососимметричную части.
Пусть
.
Тогда
,
т. е. для транспонирования надо просто
поменять векторы в диадах местами. Если
,
то тензор называется симметричным, а
если
,
то кососимметричным (или антисимметричным).
Любой тензор можно разложить на
симметричную и кососимметричную части:
;
первое слагаемое – симметричная часть, второе – кососимметричная.
2.Тензорный базис, координаты тензора. Матричный образ тензора.
Будем (для простоты) использовать
ортонормированный базис
которого вполне достаточно для изложения
основных понятий в курсе теоретической
механики, тем более что все формулы
остаются справедливыми и в случае
произвольного базиса.
Разложим все векторы в
произвольном тензоре
по базису:
,
подставим в
и «приведем подобные». Получим
,
где набор из девяти диад
называется тензорным базисом, а величины
–
координатами (компонентами) тензора. С
тензором
в указанном базисе можно соотнести
матрицу:
.
Подчеркнем, что матричный образ тензора изменяется при изменении системы координат, а, следовательно, и базиса, а сам тензор – нет; в этом и заключается, пожалуй, главное (но не единственное) преимущество тензорного «языка».