Решение

1  Строим эпюру продольной силы.

Разбиваем брус на три силовых участка AB, BC и CD, для каждого участка применяем метод сечений и составляем уравнения продольной силы.

Определяем характерные ординаты продольной силы и строим её эпюру (рисунок 1).

Рассмотрим I участок CD:

Рассмотрим II участок:

Рассмотрим III участок СD:

Расчетная схема бруса приведена на рисунке 1.

2  Из расчета на прочность определяем размеры сечения стержня для каждого участка.

Используя условие прочности

(4)

получим условие проектировочного расчета

(5)

Площадь сечения бруса А представляет собой квадрат со стороной b. Соответственно A = b².

(6)

Находим величину стороны сечения I участка бруса

Округляя, получим b₁ = 30 мм.

Аналогично рассмотрим II участок бруса

Округляя, получим b₂ = 42 мм.

Аналогично рассмотрим III участок бруса

Округляя, получим b₃ = 34 мм.

Вычертим эскиз бруса (рисунок 2).

3  Определяем нормальное напряжение на каждом участке, используя следующую формулу:

. (7)

Строим эпюру нормальных напряжений (рисунок 1).

4  Определим деформацию участка бруса и построим эпюру перемещений, используя следующую зависимость

(8)

где (9)

Принимаем перемещение точки А равным нулю (  = 0), тогда получим:

- перемещение точки B

(10)

- перемещение точки C

(11)

- перемещение точки D

(12)

Вычерчиваем эпюру перемещений (рисунок 1).

5  Определяем абсолютную деформацию бруса

(13)

Таким образом брус укорачивается.

Задача 2 Расчет статически неопределимой системы

Задание

Жесткий брус закреплен с помощью стальных стержней 1 и 2 (рисунок 3).

Вычертить схему в масштабе, проставить размеры, составить уравнения статики, определить степень неопределимости, изобразить систему в предполагаемом деформированном состоянии. Составить уравнение совместности деформаций. Решив систему уравнений, определить усилия в стержнях 1 и 2. Произвести подбор сечений по способу допускаемых напряжений. Произвести подбор сечений по способу разрушающих нагрузок.

Исходные данные: [σ] = 160 МПа; F = 10 кН; A₁ : A₂ = 4 : 3. α = 30°.

Решение

1  Определяем степень статической неопределимости системы (рисунок 3)

(14)

где R – число неизвестных усилий (реакций опор);

У – число уравнений статики.

Рисунок 3 –Схема с.н.с.

Составим уравнение статики

(15)

откуда

2 Исходную схему статически неопределимой системы изображаем в условно-деформированном состоянии согласно принципу возможных малых перемещений (рисунок 4).

Из геометрического рисунка определяем зависимость между деформациями элементов статически неопределимой системы. Получим уравнение совместимости деформации:

(16)

Из (16) следует, что

Так как

(17)

получим

(18)

Получаем уравнение совместимости деформации

(19)

3  Деформации элементов статически неопределимой системы представим через усилия в них с использованием закона Гука в следующем виде:

(20)

4  Подставляем (20) в (19), получаем

(21)

Подставляем (21) в (15), получим

(22)

Отсюда

(23)

Подставим R₂ в (21), соответственно получим

(24)

Итак,

5  Произведем подбор сечений по принципу допускаемых напряжений, для этого устанавливаем более нагруженный стержень

(25)

(26)

Выполняем проектировочный расчет по второму стержню

(27)

(28)

Тогда

Итак, по принципу допускаемых напряжений получены следующие значения сечений стержней:

6  Выполним подбор сечений стержней по принципу разрушающих нагрузок, для этого запишем уравнение равновесия (15) в виде уравнения появления текучести в элементах статически неопределимой системы

; (29)

Введем замену вида , получим

; (30)

Раздели обе части уравнения (30) на коэффициент запаса прочности n и учитывая, что

(31)

получим

(32)

Отсюда найдем площадь сечения второго стержня

(33)

Тогда площадь сечения первого стержня равна

Итак, по принципу разрушающих нагрузок получены следующие значения сечений стержней:

7  Сравнивая два принципа расчета, можно отметить, что расчет по принципу допускаемых напряжений является более надежным, а расчет по принципу разрушающих нагрузок более экономичным. При этом расхождение в расчетах составляет

(34)

В итоге принимаем площади по принципу допускаемых напряжений для обеспечения большей надежности, т.е.

Задача 3

Плоское напряженное состояние

Задание

Элемент находится в плоском напряженном состоянии. Материал – сталь. Изобразить схему нагружения элемента с обозначением численных значений напряжений, аналитически и графически определить величину главных напряжений и их направления. Внутри элемента построить главные площадки. Определить относительные линейные деформации ребер заданного кубика и относительное изменение его объема. Произвести проверочный расчет на прочность по III гипотезе прочности.

Исходные данные: [σ] = 160 МПа;

μ = 0,3;

Е = 200 ГПа;

σ_x = –40 МПа;

σ_y = 60 МПа;

τ _xy = – τ_yx = 30 МПа.