5. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Теорема 1 (сложения несовместных событий). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. .

Теорема 2. (теорема сложения совместных событий). Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей событий минус вероятность их произведения, т.е. .

Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий

Определение. Условной вероятностью события А по отношению к событию В называется вероятность события А при условии, что событие В произошло. Обозначается P(A/B).

Определение. События А и В независимы, если P(A/B)=P(A).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. P(AB)=P(A)·P(B).

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго: P(AB)=P(A)·P(B/A) =P(В)·P(A/B).

Примеры:

1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в цель. Известно, что вероятность попадания р₁ первого стрелка равна 0,9, а вероятность попадания р₂ второго – 0,8. Найти вероятность того, оба стрелка попадут в цель.

Решение.

Рассмотрим событие: А=«попадание первого стрелка в цель», В=«попадание второго стрелка в цель». Тогда событие АВ=«оба стрелка попали в цель». Так как события А и В независимы по условию, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=р₁р₂ = 0,72.

Ответ: 0,72.

2. В урне имеется 3 красных и 7 белых шаров. Вынимают сначала один шар и, не возвращая его в урну, второй. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение.

Пусть событие А=«первый шар белый», В=«второй шар белый». Тогда событие АВ=«оба шара белые».

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).

. Условная вероятность P(В/А) того, что второй шар белый, вычисляется при условии, что уже вынут один белый шар, следовательно, . Итак, .

Ответ. .

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема. Пусть события Н₁, Н₂, ... ,Н_n образуют полную группу попарно несовместных событий. И пусть событие А может произойти с каждым из этих событий, тогда

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+ ... + P(H_n)P(A/H_n). (1)

Замечание. События Н₁, Н₂, ... ,Н_n называются гипотезами. Формула (1) – формулой полной вероятности.

Пример:

Имеется 2 одинаковых ящика с деталями. В первом ящике имеется 10 деталей, из них 2 нестандартных, во втором ящике тоже 10 деталей, из них 1 нестандартная. Из одного наугад выбранного ящика вынимается 1 деталь. Какова вероятность, что эта деталь стандартная?

Решение.

Пусть событие А=«взятая деталь стандартная».

Введем события (гипотезы): Н₁=«выбран первый ящик», Н₂=«выбран второй ящик».

Тогда событие А можно представить в виде А=Н₁А + Н₂А, отсюда Р(А)=Р(Н₁)Р(А/H₁)+P(H₂)P(A/H₂).

Ящиков два, следовательно, Р(Н₁)=Р(Н₂)= . Так как в первом ящике всего 10 деталей, из них 8 стандартных, то P(A/H₁) = = 0,8; аналогично

P(A/H₂) = = 0,9.

Итак, по формуле полной вероятности получаем:

Р (А)= 0,5 0,8 + 0,5  0,9 = 0,85.

Ответ. 0,85.

Допустим, что испытание проведено, и в результате этого испытания событие А произошло. Вероятности каждой гипотезы при условии, что событие А произошло, вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы позволяет переоценить вероятность каждой гипотезы после того, как становится известным, что в результате испытания произошло событие А. Следовательно, в общем виде получаем

. (2)

Формула (2) называется формулой Байеса.

Пример:

Пусть выполнены условия предыдущего примера и пусть испытание произведено и оказалось, что вынутая деталь стандартная. Найти вероятность того, что она извлечена из первого ящика.

Решение.

Введем те же обозначения для событий, что и при решении предыдущего примера. Требуется найти Р(A/H₁). Так как Р(Н₁) = 0,5, Р(А/Н₁) = 0,8, Р(А) = 0,85, то по формуле (2) имеем

.

Ответ. 0,47.

Как видно, до испытания Р(Н₁) = 0,5, а после того как стал известен результат испытания (вынута стандартная деталь), вероятность гипотезы Н₁ изменилась, что вполне согласуется со здравым смыслом, так как в первом ящике стандартных деталей было меньше.