39. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения функции
Дифференцирование оригинала
Если 
-
оригинал, то
Если 
-
оригинал, то
Интегрирование оригинала
Если 
то 
Дифференцирование изображения
Если 
то 
Интегрирование изображения
Если 
-
оригинал, то 
40. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью операционного исчисления
Метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами п-го порядка состоит в том, что, используя свойства линейности преобразования Лапласа, теорему единственности и теорему дифференцирования оригинала, от дифференциального уравнения переходим к алгебраическому уравнению относительно соответствующих изображений, которое называется операторным (операционным). Находя решение операторного уравнения, а затем его оригинал, тем самым находим решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения п-го порядка.
При решении дифференциальных уравнений иногда удобно применять формулу Дюамеля
Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами.
,
при нулевых начальных условиях
,
где f(t) – оригинал.
(Заметим, что простой заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.)
Рассмотрим вспомогательное линейное дифференциальное уравнение
при тех же нулевых начальных условиях.
Предположим,
что известно решение этого дифференциального
уравнения – 
,
которое является оригиналом. Допустим,
что искомое решение уравнения (1) – 
также
является оригиналом.
Для изображения введенных нами оригиналов используем обозначения:
, 
,
.
Применяя к левой и правой частям уравнений D(y)=f(t) и D(y)=1 преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий, придем к операторным уравнениям
,
.
Разделив первое из этих уравнений на второе, получим соотношение
.
Применив интеграл Дюамеля и используя свойства свертки, получим искомое решение y(t) в виде
или в виде
.