Элипске жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеулері.
Элипстің теңдеуі және оның бойында жатқан бір нүкте берілсін. Осы нүктеден өтетін жанама мен нормальдың теңдеулерін қорытып шығарайық.
1.
теңдеуі,
,
нүктесі берілген. Енді (Ж) жанама мен
(N) нормалының теңдеулерін іздейік.
нүктесімен қиюшы (Қ) түзуін жүргізейік.
Берілген
нүктесі қозғалмай
нүктесі қозғалатын нүктелер болсын.
нүктесі берілген
нүктесіне
ұмтылғанда, қиюшы (Қ) түзуі жанамаға
ұмтылады, яғни
нүктесінің координаталары
нүктесінің координаталарына тең
болғанда
,
яғни қиюшы түзу жанама болады. Қиюшы
түзудің (екі нүктеден өтетін түзудің)
теңдеуін жазайық:
.
Қиюшы түзудің және нүктелерінің координаталары элипстің теңдеуін қанағаттандырады:
.
Осы
екі теңдіктің біріншісінен екіншісін
алып тастап,
қатынасын табайық:
нүктесі
нүктесіне беттескенде
болады.
Cондықтан,
.
Қиюшы түзудің теңдеуіне (А) қатынасының
мәнін табайық:
нүктесі нүктесімен беттескенде қиюшы түзу жананма болады. Осыдан жанаманың теңдеуі шығады:
2.
Берілген жанамаға перпендикуляр болатын
түзудің нормаль деп атайды.
-жанамаға
перпендикуляр. Ендеше, екі түздің
перпендикулярлық шарты
бойынша нормальдық теңдеуі жазылады:
.
Aл,
3. Жанама теңдеуін қолайлы түрге келтірейік. Ол үшін (7) теңдеуді түрлендірейік.
Осы
теңдіктің оң жағыдағы қосынды элипстің
жабайы формуласы бойынша бірге тең.
Сонда іздеген жанаманың жабайы теңдеуі
шағады:
.
4. Нормальдың теңдеуін екінші түрге келтірейік. Ол үшін (8) теңдеуді түрлендірейік:
(2)
формула бойынша
,
сонда
1-мысал.
элипске
нүктесінде жанама және нормаль болатын
түзулердің теңдеулерін табайық:
Шешуі:
Жанаманың теңдеуін (9) формула бойынша табамыз:
Нормальдың теңдеуін (10) формула арқылы табамыз:
2-мысал.
Берілген
элипске жанама және y=2x-6 түзуіне
перпендикуляр болатын түзулердің
теңдеулерін табайық.
Шешуі: Екі түзудің перпендикуляр шарты бойынша (7) теңдеудегі бұрыштық коэффиценттің таңбасы және шамасы кері пропоционал болады:
Элипстің
теңдеуінен
пен
-ты
тауып, оны алдыңғы теңдікке кояйық:
Жанасу нүктесінің координаталары элипстің теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан жанасу нүктесінің координаталарын мына теңдеулерден табайық:
Соңғы
теңдеудегі
мәнін алдыңғысына қойсақ:
Сонымен,
жанасу нүктесі екеу болады:
Енді (9) формула бойынша жанаманың теңдеулерін табайық:
Екінші
жанаманың теңдеуі
.
Берілген элипс пен табылған түзулердің
графиктері сызбада көрсетіледі.
Нормальдық теңдеуді (8) формула бойынша табайық:
Бұл - нүктесінен өтетін нормаль. Енді нүктесінен өтетін нормальдың теңдеуіне табайық:
