9. Модель оптимізації цін молочних продуктів

Співавтор: Милюзина Руслана

Побудовано модель двох продуктової перехідної економіки, що відображає виробництво агрегованого продукту і молокопродуктів, які належать до товарів першої необхідності. Отримано прогнозні значення ціноутворення в молочній промисловості.

Поставлена задача – знайти оптимальні ціни на продукти харчування, які впроваджуються на основі коров’ячого молока.

Розвязання задачі. Звичайно оптимальними вважають ціни, які приносять найбільші прибутки тим підприємствам, які виробляють відповідні товари, продають їх. При тому покладаються на апріорне припущення про існування рівноважної ринкової ціни, яке власне відображає її оптимальне значення. Проте, легко зауважити, що таке припущення порушується щодо продуктів харчування. Справді, коли людини може обходитись тривалий час без промислових предметів, тоді без повітря, води, їжі людина може прожити лише короткий час. Тому за умов нестачі їжі її ціна необмежено зростає.

За основу моделі взято модель перехідної економіки, запропоновану в [³¹].

Нехай економічна структура суспільства відображена відомим розподілом кількості сімей ρ(U) від величини їх заощаджень U. Де величина ρ(U)dU вказує кількість сімей, які мають заощадження в межах [U, U+dU].

Економічну поведінку споживачів описує функція попиту Q₁(r),яка для товарів першої необхідності є всюди зростаючою, опуклою, і яка залежить від купівельної спроможності r – яка рівна співвідношенню величини заощаджень U до ціни продукту p, тобто : r=U/p.

Функцію попиту Q₁(r) на товари першої необхідності достатньо точно відображає аполітичну залежність.

(9.1)

Де E₁- параметр, що відображає наявність одного й того виду, які відрізняються ціною та якістю; величина Q_1.0(r) відповідає прожитковому мінімуму, який забезпечує існування, а r_1.0 – купівельна спроможність при прожитковому мінімумі.

Прибуток П дорівнює різниці валового доходу R і загальних витрат С:

(9.2)

Валовий дохід залежить від ціни Р, величини повного виробленого й проданого продукту.

(9.3)

Загальні витрати складаються з постійних (cF) і змінних (cv) частин: cT = cF + cV.

В першому приближенні змінні витрати пропорційні кількості виробленого продукту: cv = sQT, де s – змінні питомі витрати. Враховуючи сказане прибуток:

П = pQ_T – sQ_T – c_F (9.4)

Загалом величини s і cF слабо залежать від ціни, тому вважатимемо їх постійними.

Найбільших прибутків буде досягнуто при ціні, яка відповідає умові:

. (9.5)

Попит на товари і послуги першої необхідності описує функція попиту Q₁(r), котра, як зазначалося, є всюди зростаючою та випускною, тобто відповідає умовам:

; (9.6)

Можна зауважити, що в цьому випадку умова максимального прибутку (9.5) не виконується при жодних цінах. Дійсно вираз (9.5) можна переписати у такий вид:

(9.7)

де Er– еластичність попиту відповідно купівельної спроможності, яка досягає максимуму при

. (9.8)

Звідси максимальне значення еластичності попиту:

(9.9)

З умов (9.6) випливає, що другий додаток в (9.9) від’ємний, еластичність завжди менша одиниці, отже вираз (1-Er) в (9.7) завжди додатній. Останній додаток в (9.8) також завжди додатній. Отже, при виробництві товарів та послуг першої необхідності прибуток як функція ціни не має екстремуму й монотонно зростає при збільшенні останньої.

Цей висновок залишається в силі, коли постійні і змінні витрати залежать від ціни і справедливий для суспільств даної економічної структури.

Отже, шукаючи оптимальних цін на молокопродукцію немає підстав для “рівноважної ринкової” ціни, необхідно вибрати інший критерій оптимальності, відмінний від максимуму прибутку. Серед таких критеріїв, відомих в теорії оптимального управління динамічними системами, – це, зокрема, – найшвидше досягнення мети (збуту всієї продукції), най економніше досягнення мети, найшвидше захоплення частин ринку збуту.

Оскільки більшість вітчизняних підприємств молочної промисловості працюють на цьому ринку віддавна, тому для них доцільно вибрати оптимальне ціноутворення за критерієм якомога логічнішого слідування ринковій поведінці підприємств цієї галузі.

Цей критерій оптимальних цін ґрунтується на тому, що окремий виробник вибирає такі ціни на молокопродукцію, яку вибрали більшість інших виробників цієї галузі.

Отже, для пошуку оптимальних цін на молокопродукти необхідно методом математичного моделювання визначити майбутню зміну цін на ці види продуктів споживання й в подальшому планувати роботу підприємства, виходячи з прогнозних значень цін, визначених шляхом математичного моделювання.

Вважатимемо, що промисловість випускає товари двох видів – молокопродукти і решту промислових товарів й продуктів споживання, узяті разом.

Споживання молокопродуктів описується функцією попиту на товари першої категорії Q₁(продукти споживання й товари першої необхідності).

Споживання решти товарів описується сумарною функцією попиту Q₂, яке включає в себе як споживання товарів першої необхідності Q₁(r), так і споживання предметів довготривалого вжитку і розкоші Q₂(r). Сумарна функція попиту на товари першої необхідності й предмети довготривалого вжитку Q(r) = Q₁(r) + Q₂(r).

Функцію попиту товарів довгострокового вжитку й предметів розкоші доволі точно відображає залежність

(9.10)

де h(х) – функція Хевісайда.

Функція Q₂(r) має наступні властивості. При r<r_min люди не купують товарів другої категорії. Купівельна спроможність r_2.0 відповідає заощадженням, при яких люди спроможні купувати товари другої категорії. Параметр E₂ відображає наявність допоміжних ідентичних товарів.

Вважатимемо, що ціна на сукупний агрегований продукт молочної промисловості рівна р₁. Ціна одиниці сукупного агрегованого продукту решти промисловості рівна р₂.

Практично ціни на агрегований продукт молочної промисловості та решти товарів можуть бути встановленні експертним шляхом, подібно як параметри функцій Q₁(r), Q₂(r).

Ціну агрегованого продукту молочної промисловості визначимо як середнє питоме значення. Нехай підприємство виробляє m видів молоко продукції. Кожен з них має ціну cі, і = 1,...,k. За одиницю часу продається v_i одиниць кожного продукту. Тоді середня ціна одиниці проданого молокопродукту

(9.11)

Відносна ціна одного з продуктів в порівнянні з середньою агрегованою ціною (9.11) рівна

, i = 1,...,k (9.12)

Якщо з математичної моделі вдалося б знайти ціну агрегованого молокопродукту, тоді за коефіцієнтами δ_i, і = 1,....,m легко встановити щоденні ціни окремих видів молочних продуктів.

Припустимо, що суспільство складається з восьми груп: непрацюючі пенсіонери (їх кількість n₀ N); робітники промисловості (n₁N); робітники бюджетних підприємств (n₂N); пенсіонери, які працюють в бюджетних організаціях (n₃N); пенсіонери, які працюють в приватних підприємствах (n₄N); працівники сільського господарства (n₅N); власники приватних підприємств (n_mN); багаті власники великих підприємств (n_lN).

Величини n_i, і = 1,...,5, m, l – це відносні кількості відповідних категорій населення. Їх сума дорівнює одиниці.

Члени кожної групи мають грошові заощадження, u_i, і = 1,....,5, m, l, котрі залежать від балансу доходів й витрат. Грошовим заощадженням відповідають купівельні спроможності r_i=U/P. Припустимо, що доходи в середині групи одинакові, а доходи різних груп відрізняються.

Доходи пенсіонерів, службовців й працівників сільського господарства сталі й дорівнюють відповідно P₀, P₂ й Р₅. Працюючі пенсіонери отримують зарплату і пенсію. Доходи робітників промисловості залежать від обсягів продукції, яку вони випускають, а доходи власників – залежать від обсягів проданої продукції.

Дохід робітників Рі (і = 1, 2, 5) зменшено на величину податку χ₀. Пенсії податком не обкладаються. Власники витрачають частки своїх доходів (q << 1) на особисті потреби, включаючи на предмети розкоші. Ці затрати дорівнюють grm, а обсяг споживання власників описує функція Q(grm). Іншу частину (1 – g)rm доходів власники використовують в якості оборотних засобів, вона витрачається на покриття виробничих витрат. З них виплачується зарплата в розмірі (1+χ₁)P₁, де χ₁ - податок на фонд зарплати.

Заробітна плата робітників приватних підприємств пропорційна об’єму виробленого продукту:

(n₁+n₂)P₁(r) = hF((1-g)r) (9.13)

де F( ) – кусково-лінійна виробнича функція:

F(r)= r/τ; при r/nτ<F_max; nF_max;r/nτ<F_max. (9.14)

де F_max – максимальна кількість продукту, який може виробляти один працюючий, V/n – оборотні засоби в розрахунку на одного працівника, τ – тривалість виробничого циклу. Тут r = v/n.

Крім затрат на зарплату власники зазнають виробничих затрат на сировину, енергію, транспорт. В моделі вони об’єднанні в спільну групу затрат, пропорційних обсягу виробництва. Вони рівні (λ+χ₂)F((1 – g)rm)

Тут коефіцієнт λ відображає виробничі витрати, χ₂ – рівень оподаткування, пропорційний обсягу випущеної продукції.

Повна затрата власників за одиницю часу рівна

(h(1+χ₁) + λ+ χ)F((1 – g)r_m) (1.15)

Доходи власників дорівнюють виручці від реалізації виробленої продукції, зменшеної на величину виробничих витрат. Швидкість зміни оборотних коштів залежить від різниці доходів й витрат власників.

Швидкість зміни ціни на агреговані продукти молочної промисловості і решти промисловості залежить від різниці між попитом і пропозиції на внутрішньому ринку.

Прийнято, що повна величина коштів М (кількість грошей) в суспільстві стала. Ця умова призводить до взаємозалежності заощаджень в різних групах :

(9.16)

В результаті отримаємо 7 динамічних змінних u_i й дві динамічні змінні р₁, р₂, які описують модель двопродуктової економіки.

Модель двопродуктової економіки, яка включає молочну промисловість і всі решта галузі, разом узяті, становить собою систему дев’яти звичайних диференційних рівнянь, котрі описують як можливі стаціонарні стани економіки, так і переходи між ними.

; (9.17)

(9.18)

(9.19)

(9.20)

(9.21)

(9.22)

(9.23)

(9.24)

(9.25)

Параметри γ, γ₁ в рівняннях (9.24), (9.25) відображає відносну швидкість встановлення відповідно ціни молоко продукції і ціни решти товарів при зміні кон’юктури ринку. Qb₁ - державне замовлення на молокопродукти, - державне замовлення на решту товарів.

Рівняння (9.17-25) описують економіку суспільства загалом, які сталі і початкові значення динамічних величин у них вибрано.

Нехай розв’язок системи (9.17-25) знайдено при деяких початкових значеннях

u₀(t₀), u₁(t₀), u₂(t₀), u₃(t₀), u₄(t₀), u₅(t₀), u_m(t₀), u_l(t₀), p₁(t₀), p₂(t₀) (9.26)

за допомогою числових методів.

В результаті цього буде отримано залежність ціни на агрегований молокопродукт від часу p₁(t) та залежність ціни від часу p(t) для решти товарів. Виконуючи такі обчислення для минулих проміжків часу, неважко уточнити параметри моделі, яка відображала дійсну зміну цін у минулому.

Знайшовши ж значення ціни на молокопродукти в майбутньому, і припустивши, що структура цінових співвідношень між різними видами молочних продуктів залишається сталою, знаходимо ціни на окремі види молочних товарів

l_i(t)=δ_iP₁(t). (9.27)

Вибравши, як зазначено вище, критерій оптимальності як максимального слідування ринку, знаходженні ціни на окремі види товарів (9.27) є оптимальними в цьому сенсі.

Описана модель двопродуктової економіки дозволяє вирахувати прогнозні значення цін на основні види молочних продуктів, там же викладено послідовність збору інформаційних даних, обчислень та експериментів з цією моделлю, які дають середньо – та довготермінові прогнозні значення оптимальних цін на основні види молочних продуктів, котрі випускає велике переробне підприємство.

Алгоритм 9.1. Розрахунок планових оптимальних цін основних молокопродуктів.

1. Встановити середнє в окремому територіальному районі значення сталих доходів P_i, i=1,…,5.

2. Встановити співвідношення чисельності основних груп населення n_i, i =1,…,5, m, l.

3. Встановити значення податку з фізичних осіб χ₀ і податку на фонд зарплати χ₁.

4. Встановити існуюче значення державного замовлення на молокопродукти Qb₁ і решту товарів Qb для підприємств району.

5. Встановити значення параметра λ – величини видатків на утримання виробничих підприємств.

6. Встановити величину g видатків доходу підприємств на споживання дорогих предметів розкоші власниками підприємств.

7. Встановити параметри функції споживання товарів першої необхідності Q_1,0 r_1,0 E₁. Встановити параметри функцій споживання товарів довготривалого вжитку r_min, r_2,0, E₂.

8. Вибрати значення F_max, характерне для існуючої економіки.

9. Встановити відносні ціни δ_i, i=1,…,K товарів молочної промисловості.

10. Встановити агреговану ціну товарів молочної промисловості P₁(t₀).

11. Встановити значення заощаджень U_i(t₀); i=1,…,5, m, l.

12. Розв’язавши систему рівнянь (9.17-25), знайти значення ціни, оптимальне в сенсі слідування ринку.

13. Повторюючи п. 12 для минулих відрізків часу, уточнити параметри моделі, встановлені в п. 1-11.

14. Вирахувати, розв’язавши (9.17-25) прогнозне значення ціни на молокопродукти p₁(t).

15. На основі відносних цін на окремі види молокопродуктів δ_i, i=1,…,K вирахувати за (9.27) оптимальні ціни на окремі види товарів молочної промисловості.

Описаний алгоритм дозволяє знаходити планові ціни на основні види товарів молочної промисловості, які оптимально відповідають існуючому стану ринку споживання й стану підприємств молочної промисловості.

Вибираючи ціни на харчові молочні продукти за значеними, вирахуваними на основі запропонованої методики, підприємство запобігає можливим втратам, зумовлених зменшенням продаж надмірно дорогих продуктів або надмірним здешевленням товарів. Одночасно, ціни, вирахувані за описаним методом є оптимальними для споживачів, вони відповідають їхнім статкам і особливостям споживання товарів харчової групи й товарів довготривалого вжитку. Вибираючи ціни, які є прийнятними для підприємства і оптимальними для споживачів молокопродуктів, які становлять важливу складову частину споживчого кошика громадян України, виробник цих продуктів цим самим створює надзвичайно плідний соціально-економічний ефект. Адже при цьому зникає соціальна напруга навколо забезпечення громадян продуктами споживання, особливо молочними, яких потребують діти, люди похилого віку, хворі.

Слідуючи за цінами, оптимальними в сенсі ринкової кон’юктури, підприємство молочної промисловості досягає планомірного розвитку, запобігає порушенню ритмічності його роботи, тобто отримує сталі доходи, які зростають разом з піднесенням економіки суспільства загалом. Впровадженням запропонованого методу оптимізації цін молокопродуктів впаде до планомірного значення ефективності роботи переробного підприємства, створює передумови для ефективного й комплексного менеджменту, створює істотний соціально-економічний ефект в суспільстві.

Для розв’язання поставленої задачі – побудови динамічної моделі 9-го порядку у формі звичайних нелінійних диференційних рівнянь доцільно використати програмні інструменти, які оснащені засобами числового розв’язування систем звичайних диференційних рівнянь, а також – мають засоби відображення результатів моделювання у формі, зручній для якісного аналізу та подальшого застосування в інших інформаційних системах.

Програмне забезпечення динамічної моделі двопродуктової економіки, яка включає агрегований продукт всієї промисловості і сукупний молокопродукт, розроблено мовою програмування Matlab.

Виробничу функцію (9.14) розроблено у формі окремої функції Matlab, яка приймає один параметр – величину капіталовкладень і повертає кількість виробленого продукту.

В моделі застосовано дві функції споживання. Одна з них описує залежність обсягу споживання сукупного агрегованого продукту від купівельної спроможності, інша – залежність споживання молокопродуктів від купівельної спроможності. Функції споживання реалізовано в окремих програмних функціях Matlab.

Споживання агрегованого продукту відображено у формі функції, що поєднує споживання товарів першої необхідності й товарів довготривалого вжитку. Споживання сукупного молокопродукту відображено у формі функції, що описує споживання лише товарів першої необхідності. Для розв’язування системи звичайних диференційних рівнянь використано процедуру Matlab ode45(), яка містить алгоритм розв’язування систем звичайних жорстких диференційних рівнянь методом Гіра [³²].

Систему диференційних рівнянь описано в окремій процедурі, яка приймає два параметри – скалярну незалежні змінну t, і вектор динамічних змінних системи рівнянь, описаних. І повертає вектор похідних від цих динамічних змінних. Тобто, в цій функції явно відображено систему звичайних диференційних рівнянь (9.17-26).

Власне динамічна модель двопродуктової економіки розроблено в головній програмі проекту. В цій програмі задано значення параметрів моделі, описано звертання до функцій споживання і виробничої функції, розв’язано систему звичайних диференційних рівнянь, виконано відображення результатів моделювання й вивід їх у текстові файли, а також обчислено значення прогнозних оптимальних цін для декількох продуктів молоко переробки.

Розроблене програмне забезпечення моделі надає можливості для проведення експериментів з визначення прогнозних оптимальних значень ціни на молокопродукти, а також – прогнозних значень інших динамічних змінних моделі. Тобто, використання розробленої моделі відкриває шлях до кількісного уточнення значення ціни молокопродуктів, а також – до обчислювальних експериментів, спланованих для дослідження поведінки молочної галузі в умовах перехідної економіки на етапі поступового зростання інтенсивності виробництва і споживання в країні.

Рис. 9.1. Графік функції споживання Q(r) для молокопродуктів – товарів першої необхідності.

Рис. 9.2. Графік функції споживання агрегованого продукту.

Під час розробки моделі були проведені дослідження, сплановані для встановлення значень параметрів, які необхідно вирахувати згідно алгоритму 2.1. При цьому була поставлена наступна задача. На основі реальних даних за 1995-2003 роки вирахувати прогнозне значення динамічних змінних моделі на цій період й до 2004 року. В ході цих експериментів було уточнено значення параметрів виробничої функції та функцій споживання товарів першої необхідності й сукупної функції споживання всіх видів товарів – першої необхідності, довготривалого вжитку й предметів розкоші.

Графік функції споживання молокопродуктів і функції споживання сукупного молокопродукту показано відповідно на рис. 9.1, 9.2.

Основний експеримент був поставлений для вирахуанняч прогнозної ціни сукупного молокопродукту на 2005 рік. Для цього в моделі (2.17) – (2.26) було підставлено значення параметрів, що відображають стан економіки в січні 2005 року. В результаті розв’язку моделюючих рівнянь отримано залежність динамічних змінних – заощаджень u(t) у 7-ми групах громадян, а також значення ціни агрегованого продукту p(t) й сукупного молокопродукту p₁(t).

На рис. 9.3 зображено графік величини заощадження, типовий для економіки, що переходить з низькопродуктивного у високопродуктивний стан. На графіках величин заощаджень (рис. 9.3) видно піднесення величини заощаджень у всіх категоріях громадян. Такий стан економіки називають «економічним чудом» і експерименти з моделлю двопродуктової економіки підтвердили наближення економіки України до переходу у високопродуктивний стан.

На рисунку 9.4 показано залежність ціни агрегованого продукту від часу протягом прогнозного відрізку тривалістю 1 рік. Видно, що на цьому відрізку часу відбуватиметься незначне зростання цін на всі види товарів, що відповідає іншим дослідженням інфляції, урядовим повідомленням з цього приводу.

На рисунку 9.5 показано залежність ціни сукупного молокопродукту від часу протягом цього з відрізку тривалістю 1 рік. Видно, що ціни на молокопродукти також підніматимуться, причому на цьому відрізку часу відбуватиметься незначне коливання, накладене на триваючий ріст цін.

Експерименти, сплановані для виявлення економічної природи цих коливань, описані нижче.

Рис. 9.3. Графік зростання заощаджень в одній з груп громадян (непрацюючі пенсіонери).

Рис. 9.4. Графік залежності ціни на агрегований продукт від часу. Видно стале збільшення цін на всі види товарів.

Рис. 9.5. Графік зміни ціни на сукупний молокопродукт. Зліва видно слабке прискорене зростання цін, яке переходить у лінійне зростання.

На рисунках 9.7, 9.8 зображено проекції фазових траєкторій на площину (u0, p) і на площину (u₀, p₁). Порівняння цих двох проекцій дозволяє робити висновки про співвідношення між зростанням цін на всі продукти загалом і зростанням цін на молокопродукти, яке відбуватиметься під час швидкого економічного піднесення. Порівняння цих двох проекцій показує, що під час економічного піднесення відбудеться зростання цін, яке для минулих історичних епох називають «революцією цін». Проте зростання цін на агрегований продукт і сукупний молокопродукт відбуватиметься дещо по іншому.

Рис. 9.6. Проекція фазової траєкторії моделі на площину (p-p₁).

Рис. 9.7. Проекція фазової траєкторії моделі на площину (u₀, p).

Проекція фазової траєкторії на (u₀, p) має різкіше виявлений згин, в порівнянні з нею проекція на площину (u₀, p₁) виглядає вологішою. Це вказує на те, що під час економічного піднесення ціни на агрегований продукт зазнають сильнішої зміни, вони збільшаться істотніше, ніж ціни на молокопродукти. З математичної точки зору це є наслідком того, що вже при теперішньому рівні заощаджень більшість громадян купує у невеликій кількості молокопродукти, тобто їх споживання припадає на пологу частину графіка функції споживання (див. рис. 9.1).

З економічної ж точки зору це означає, що не зважаючи на суттєві збільшення заощаджень, які очікуються під час майбутнього економічного піднесення, ціни на молокопродукти не зазнають такого ж швидкого піднесення, як на інші види товарів.

З цього випливає висновок про те, що молочну галузь, молочне тваринництво очікують складні економічні проблени.

Рис. 9.8. Проекція фазової траєкторії моделі на площину (u₀, p₁).

Цей висновок, отриманий шляхом математичного моделювання, підтверджують інші методи економічного аналізу, зокрема – численні повідомлення, про погіршення стану сільськогосподарських виробників в західних країнах, що зумовлено інтеграційними процесами.

Отриманий експериментальний результат показує, ще раз підтверджує актуальність вибраної теми. Адже від того, наскільки оптимально буде сплановане сільськогосподарське й молочне виробництво, залежить як стан цієї галузі, так і якість життя більшості громадян нашої країни.

Зростання цін на молочні продукти, повільніше за загальне зростання, має й пряму соціальну інтерпретацію. Адже під час економічного піднесення в суспільстві залишиться чимало громадян з заощадженнями, нижчими середніх для своєї групи. Саме з урахуванням їх запитів в суспільстві зберігатимуться нижчі ціни на основні продукти харчування, хоч це й створює економічні труднощі для виробників.

Виходячи з вибраної стратегії оптимального управління – максимального слідування тенденціям ринку, було розраховано оптимальні ціни на декілька видів молокопродуктів (молоко обезжирене, сир, масло вершкове). Графіки відповідних величин показано на рис. 9.9. Видно, що ціни на дорожчі продукти зростатимуть дещо швидше в порівнянні з цінами на дешеві молокопродукти.

В цьому проявляється специфічна соціальна диференціація, притаманна для переходу економіки з кризового у продуктивний стан.

Рис. 9.9 – графіки прогнозних цін на окремі види молочних продуктів (масло вершкове, сир, молоко обезжирене).

Розроблена динамічна модель відображає двопродуктову макроекономіку. Тому вона придатна не лише для вирахування цін на молокопродукти, а й для вивчення особливостей галузі за умов триваючого економічного піднесення.

Рис. 9.10. Графіки відношення ціни сукупного молокопродукту до ціни агрегованого продукту.