Завдання №8 Тема: „Моделі поведінки виробників. Неокласична довгострокова модель однопродуктової фірми в умовах досконалої конкуренції”

Серед математичних моделей поведінки виробника (фірми) в неокласичній теорії однопродуктової фірми розрізняють довгострокові та короткострокові (відносно можливості придбання ресурсів) моделі фірми. У довгострокових моделях на вибір виробничих витрат (ресурсів) немає жодних обмежень, крім умов невід’ємності. На відміну від довгострокових моделей у короткострокових такі обмеження завжди є. Крім того, вигляд моделі поведінки фірми істотно залежить від того, в умовах якої конкуренції працює фірма: досконалої чи недосконалої. Якщо конкуренція є досконалою, то фірма виробляє свою поведінку на певний період часу, виходячи із чізаданих ( фіксованих) цін на свою продукцію та ресурси і не намагається своїми діями вплинути на ці ціни. В протилежному випадку має місце недосконала конкуренція. Неокласична довгострокова модель фірми, що діє в умовах досконалої конкуренції, має вигляд:

(8.1)

де x – шуканий вектор виробничих ресурсів, - неокласична виробнича функція (функція випуску продукції), p- ціна продукції, - вектор цін на ресурси, - прибуток фірми. Задача (8.1) є задачею нелінійного ( угнутого) програмування.

1.Користуючись моделлю (8.1), знайти функції попиту на витрати виробництва та функції пропозиції для фірми з двома видати витрати і виробничою функцією: а) Кобба- Дугласа (5.1); CES (5.2).

2. Нехай постійні витрати фірми оцінюють ся сталою величиною . Як у випадку функції Кобба- Дугласа, так і у випадку функції CES: а) записати рівняння із окости та ізокванти, побудувати їх графіки і уточнити умови дотику із окости та ізоквант у точках оптимальних витрат;

б) знайти криву випадків (залежність випадків на виробництво як функці. випуску), загальні, середні і граничні випадки;

в) визначити області збитковості та прибутковості фірми.

3. Для кожної з виробничих функцій (5.1) і (5.2) (при n=2) виписати основне матричне рівняння теорії фірми і розв’язати його відносно

4. На основі одержаних в попередньому пункті розв’язків матричного рівняння фірми здійснити аналіз динаміки та класифікацію виробничих витрат та продукції фірми. При виконанні даного завдання слід скористатись значеннями параметрів , знайденими у завданні 4 (в кожному з варіантів окремо). Будемо вважати, що для функції (5.1) а для функції (5.2)- Крім того, всі розрахунки провести для цін p=5,

Допоміжний теоретичний матеріал. Довгострокова модель фірми (8.1) є математичним записом задачі раціональної діяльності фірми. Необхідними умовами оптимальності розв’язку в задачі (8.1) є умови:

(8.2)

Умови (8.2) є умови Куна – Таккера для задачі угнутого програмування без обмежень (крім умов невід’ємності шуканих змінних). Якщо в оптимальному розв’язку використані всі види ресурсів, тобто то умови оптимальності (8.2) набудуть вигляду

(8.3)

Оскільки J=pH, де - матриця Якобі, а

- матриця Гессе, то при додатних p якобіан (H- від’ємно визначена матриця і ), табто систему (8.3) можна розв’язати відносно вектора . Розв’язавши (8.3), отримаємо функції попиту на виробничі ресурси та функцію пропозиції випуску продукції Зазначимо також, що функції попиту на ресурси можуть бути побудовані також за допомогою економетричних методів, якщо є відповідна статистична інформація.

Модель (8.1) при n=2 має чітке геометричне тлумачення. Ізокости – це лінії постійних виробничих витрат з кутовим коефіцієнтом

Ізокванти – лінії постійного випуску

з нахилом З умов оптимальності (8.3) випливає, що тобто маємо умови дотику ізокванти та із окости у точках оптимальних витрат . Геометричне місце усіх точок дотику із окости та ізокванти є кривою у просторі витрат і визначає довгостроковий шлях розвитку фірми, тобто показує залежність максимального випуску від заданих витрат. Оскільки ця залежність є монотонною, то існує також обернена монотонна функція мінімальних витрат від максимального випуску . Ця функція визначає криву

видатків. Очевидно, де p- параметр, а знаходиться з умов оптимальності (8.3). Загальні, середні і граничні видатки визначаються за формулами:

Областю збитковості фірми є область тих випусків , при яких кінцевий прибуток областю прибутковості фірми є область тих випусків , при яких Зауважимо, що аналогічний аналіз можна здійснити і для короткострокової моделі фірми.

Основний зміст задач порівняльної статистики в теорії виробництва полягає в дослідженні чутливості попиту на ресурси та пропозиції випуску по відношенню до змін відповідних цін. Реакцію виробника на одночасну зміну ціни випуску та цін ресурсів(а отже і кожну, зокрема) дозволяє визначити основне матричне рівняння теорії фірми. У випадку (8.1) це рівняння має вигляд:

(8.4)

де - квадратна матриця порядку n, в якій елементи головної діагоналі рівні одиниці, а всі інші є нульовими. Крім того нулями у (8.4) відповідно позначені (зліва направо) нульовий стовпець, число, нульовий рядок.

Рівняння (8.4) розв’язується відносно оскільки крайня зліва матриця має обернену. При цьому

(8.5)

Нагадаємо, що характеризує вплив зміни ціни випуску p на його оптимальний обсяг, вплив зміни ціни випуску на оптимальні витрати ресурсів, - вплив зміни цін ресурсів на оптимальний обсяг продукції,

вплив зміни цін ресурсів на оптимальні витрати ресурсів. Для конкретних виробничих функцій співвідношення (8.4), (8.5) матимуть конкретну функціональну форму.

Аналіз розв’язків (8.5) приводить нас до наступних висновків.

1. Оптимальний випуск є монотонною зростаючою функцією ціни випуску.

Це справді так, бо є також від’ємно визначеною матрицею, тому

2. Не всі виробничі ресурси одночасно можуть бути малоцінними.

Ресурс j називається малоцінним, якщо тобто якщо збільшення ціни випуску приводить до падіння попиту на j-й ресурс. Оскільки

а то існує принаймні один ресурс j, для якого

3) Збільшення ціни за малоцінний ресурс приводить до збільшення випуску.

Такий висновок випливає з того, що

або

4) Зростання ціни на деякі ресурси приводить до зменшення випуску.

Це твердження є наслідком нерівності

Зрозуміло, що або для всіх або принаймні для деяких з них .

5) Підвищення ціни на деякий ресурс завжди приводить до падіння попиту на нього.

З (8.5) випливає, що -- від’ємно визначена матриця, то елементи її головної діагоналі є від’ємними: .

6) Вплив зміни ціни і-го ресурсу на зміну попиту на j-й ресурс рівний впливу зміни ціни j-го ресурсу на зміну попиту на і-й ресурс.

Висновок є очевидним, бо матриця є симетричною тобто .

7)Для взаємозамінювальних ресурсів j та і збільшення ціни j-го ресурсу призводить до падіння попиту на ресурс j та зростання попиту на ресурс і. Для взаємодоповнювальних ресурсів j та і збільшення ціни j-го ресурсу приводить до одночасного падіння попиту на обидва ресурси.