7. Означення потрійного інтеграла

Нехай функція визначена в замкненій обмеженій області тривимірного простору . Розіб’ємо область на довільних частинних областей , які не мають спільних внутрішніх точок. Об’єми областей позначимо позначимо , їх діаметри - . Діаметром області називається довжина найбільшої хорди, яка з’єднує дві точки межі області . Візьмемо довільну точку , і знайдемо значення функції у точці .

Вираз вигляду називається інтегральною сумою для функції по області . Позначимо через максимальний із діаметрів областей , тобто , .

Якщо існує границя інтегральної суми за умови, що , тобто , яка не залежить від способу розбиття області а елементарні області та від вибору точок , то ця границя називається потрійним інтегралом від функції по області . Потрійний інтеграл позначається так:

.

8. Обчислення потрійного інтеграла

Означення. Якщо будь-яка пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі , перетинає границю області у двох точках, а проекція на площину є правильною областю , то область називається правильною у напрямі осі . Аналогічно вводиться означення правильної області у напрямах осей і .

Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і відповідно, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні . Позначимо проекцію області на площину через .

Припустимо, що кожна пряма, яка паралельна осі і проходить через внутрішню точку області , перетинає область у точках і . Точку назвемо точкою входу в область , а - точкою виходу із області , їхні аплікати позначимо відповідно і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула:

. (1.5)

Тобто, щоб обчислити потрійний інтеграл, спочатку треба обчислити інтеграл по змінній , вважаючи, що змінні і сталі. Інтеграл називають внутрішнім інтегралом, бо

. (1.6)

Права частина формули (1.6) є подвійним інтегралом по області із підінтегральною функцією . Таким чином, формула (1.6) дає змогу звести потрійний інтеграл до подвійного.

Якщо область , наприклад, обмежена , , а , при чому і неперервні в області , а область задана відповідно так: , то переходячи від подвійного інтеграла у формулі (1.6) до повторного, одержимо формулу:

. (1.7)

Формула (1.7) зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування у формулі (1.7) може бути й іншим, тобто змінні , і за певних умов можна міняти місцями.

9. Перехід до циліндричних координат у потрійному інтегралі

Циліндричні і декартові координати пов’язані відношенням:

.

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд:

,

- задана на в декартовій ординат, - у полярній.

10. Перехід до сферичних координат у просторі

Сферичні координати , і декартові координати пов’язані відношенням:

.

А перехід від сферичних координат до декартових відбувається за формулою:

,

де область - задана на в декартовій системі координат,а - у полярній.