2. Поділ відрізка у даному відношенні. Центр мас.

Н ехай задано відрізок АВ точками і . Знайдемо на відрізку таку точку , яка ділить цей відрізок у відношенні , тобто . Введемо радіус-вектори (рис. 4.5) , , . Оскільки , і за умовою , то , звідки . Прирівнюючи проекції обох частин цієї рівності на осі координат, згідно з формулами (4.13) маємо

. (4.14)

Зокрема, координати точки, яка ділить відрізок АВ навпіл , знаходяться за формулами

. (4.15)

Виведемо тепер формули для координат центра мас системи матеріальних точок , в яких зосереджено маси . Знайдемо спочатку центр маси системи двох точок та . Оскільки центр маси лежить на відрізку і ділить його у відношенні , то за формулами (4.15)

. (4.16)

Точка, координати якої обчислюються за формулами (4.16), називається центром мас двох матеріальних точок і .

Методом математичної індукції можна довести, що центр мас системи п матеріальних точок знаходиться в точці , де

.

Приклад 8. Дано точки і . На прямій знайти точку М, яка ділить відрізок у відношенні .

 Використаємо формули (4.14)



Приклад 9. Дано трикутник: , , . Знайти координати точки перетину бісектриси кута із стороною .

 Знайдемо довжини сторін трикутника, які утворюють кут :

Так як бісектриса ділить сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам, то . Таким чином

шукана точка . 

3. Полярна та циліндрична системи координат

1. Полярна система координат

Декартова система координат не єдиний спосіб визначати за допомогою чисел місце знаходження точки на площині. Для цієї мети використовують багато інших координатних систем.

Найважливішою після прямокутної системи координат є полярна система координат. Вона задається точкою О, яка називається полюсом, і променем Ор, який виходить з полюса і називається полярною віссю. Задаються також одиниці масштабу: лінійна – для вимірювання довжин відрізків і кутові – для вимірювання кутів (рис. 8.4). Нехай – відстань від точки О до точки М і – кут, на який треба повернути полярну вісь проти годинникової стрілки, щоб сумістити її з вектором .

П олярними координатами точки М називаються числа  і . При цьому число  вважається першою координатою і називається полярним радіусом, а число  – другою координатою і називається полярним кутом. Точка М з полярними координатами  і  позначається так: . Очевидно, полярний радіус може набувати довільних невід’ємних значень: полярний кут вважатимемо таким, що змінюється в межах . Іноді розглядають кути , більші від , а також від’ємні кути, тобто такі, що відкладаються від полярної осі за годинниковою стрілкою. Виразимо декартові координати точки М через полярні.

Вважатимемо, що початок прямокутної системи збігається з полюсом, вісь Ох – з полярною віссю Ор. Якщо точка М (рис. 4.6) має декартові координати х і у і полярні  і , то

, (4.18)

звідки

. (4.19)

З ауважимо, що друга з формул (4.19) дає два значення кута , оскільки він змінюється від 0 до . З цих двох значень кута треба взяти те, для якого задовольняються формули (4.18). Формули (4.18) називають формулами переходу від полярних координат до декартових, а формули (4.19) – формулами переходу від декартових координат до полярних.

Приклад 10. Побудувати точки за полярними координатами: , і .

 Дані точки показано на рис. (4.7) 

2. Циліндрична система координат

Я кщо в прямокутній системі координат Oxyz замість перших двох координат х, у взяти полярні координати  і , а третю координату z залишити без зміни, то дістанемо циліндричну систему координат (рис. 4.8). Координати точки М простору в цій системі записуються у вигляді .

Залежності між прямокутними координатами точки і її циліндричними координатами випливають з формул (4.1):

, (4.20)

де .

Отже, якщо прямокутна і циліндрична системи координат розміщені так, як на рис. 8.7, то зв’язок між прямокутними і циліндричними координатами виражається формулами (4.20).