1. Лінійна неоднорідна модель функції попиту

. (1.1.11)

У даній формулі і b не є постійними. Дана функція є лінійною відносно цін і доходу.

Еластичність попиту на благо i від ціни :

. (1.1.12)

Еластичність попиту на благо i від доходу:

. (1.1.13)

Дані еластичності краще всього обчислювати для середніх арифметичних цін _, доходу і попиту .

2. Степенева однорідна модель функції попиту

При побудові степеневої функції попиту виходять з постійних еластичностей:

. (1.1.14)

У формулі (1.1.14) і b є постійними. Функція лінійна в логарифмах попиту, цін і доходу:

. (1.1.15)

Тоді еластичності:

; . (1.1.16)

Ці постійні еластичності, звичайно, є лише грубим наближенням, яке має силу в околі середніх геометричних змінних , , .

Ми розглянули статичну модель, що не враховує змін у часі, витрат, податків і т.п. Дана модель придатна для вивчення попиту на товари короткочасного користування при відсутності дефіциту, при повній конкуренції і атомістичній поведінці споживача.

Приклад 1.1.1. Розглянемо функцію попиту:

.

1) Знайдемо степінь однорідності даної функції:

Отже, степінь однорідності даної функції .

2) - еластичність попиту на благо 1 від його ціни, показує: якщо при інших рівних умовах ціна на товар 1 збільшиться на 1%, попит на нього зменшиться на 0,33%.

, благо 1 - товар першої необхідності.

3) - еластичність попиту на благо 1 за ціною блага 2 показує: якщо ціна на благо 2 збільшиться на 1%, попит на благо 1 зменшиться на 0,44% при інших незмінних умовах.

- блага 1 і 2 взаємодоповнюючі.

4) - еластичність попиту на благо 1 за ціною благо 3. Припустимо, що при інших рівних умовах ціна на благо 3 підвищиться на 1%, то попит на благо 1 збільшиться на 2,35%.

- блага 1 і 3 взаємозамінюючі.

5) - еластичність попиту на благо 1 від доходу показує: якщо при незмінних цінах доход збільшується на 1%, то попит на благо 1 збільшиться на 1,09%.

- благо 1 - товар вищої категорії.

Функція виробництва

Функція виробництва показує співвідношення між використаною кількістю виробничих факторів і кількістю кінцевого продукту при наявності даної техніки. Виробничі фактори: праця, капітал, засоби виробництва, приміщення, техніка, сировина і т.п .

Розглянемо спочатку випадок, коли кількість будь-якого продукту P виготовляється за допомогою n виробничих факторів .

. (1.2.1)

Означення 4.1. Гранична продуктивність – зміна обсягу виробництва, пов’язана з кожним додатковим вкладенням праці. Граничні продуктивності обчислюються за формулою:

, (1.2.2)

де – витрати i-го фактору на виробництво додаткової одиниці продукції. Граничні продуктивності невід'ємні, принаймні, у економічно важливих галузях: .

Похідні від граничних продуктивностей:

, (1.2.3)

як правило, не можуть бути додатними: [1].

Розглянемо одну достатньо вірогідну модель виробничої функції – функцію Кобба-Дугласа. У 1927 році Пол Дуглас, економіст за освітою, виявив, що якщо нанести на одну і ту ж діаграму графік логарифмів показників реального обсягу випуску , капітальних витрат і витрат праці L, то відстані від точок графіку показників випуску до точок графіків показників витрат праці і капіталу будуть складати постійну пропорцію. Він звернувся до математика Чарльза Кобба з проханням знайти математичну залежність, що має таку особливість, і Ч.Кобб запропонував наступну функцію:

. (1.2.4)

Ця функція була запропонована приблизно 30-ма роками раніше Ф.Уікстідом, цей факт був зазначений Ч.Коббом і П.Дугласом в їх класичній роботі (Cobb, Douglas, 1929), але вони були першими, хто використав для її побудови емпіричні дані про реальні обсяги виробництва, капітальних витрат, і витрат праці для промисловості у США (1899-1922). Автори не описують, яким чином вони насправді побудували функцію, але відомо що вони використали початкову форму регресійного аналізу, бо вони посилалися на “теорію найменших квадратів”.

Формула Кобба-Дугласа є окремим випадком більш загальної степеневої функції:

, , . (1.2.5)

Величини a,b₁,b₂,…,b_n є константами. Дана функція лінійна у логарифмах:

. (1.2.6)

Постійні b_i є еластичностями кількості продукції по відношенню до кількості виробничих факторів:

. (1.2.7)

Якщо кількості усіх інших виробничих факторів постійні і тільки кількість F_i збільшується на 1%, то кількість продукту збільшується приблизно на b_i відсотків. .

Розглянемо тепер суму еластичностей:

. (1.2.8)

Якщо , то функція виробництва має зростаючий ефект від масштабу виробництва (це означає, що якщо збільшуються у деякій пропорції, то зростає в більшій пропорції), отже виробництво вигідно розширяти, вигідні великі виробництва.

Якщо , то говорять про постійний ефект від масштабу виробництва ( збільшується у тій же пропорції, що й ), отже немає ні прибутку ні збитків від розширення або скорочення виробництва, однаково прибуткові і більші і менші підприємства. Така функція ( ) називається лінійною та однорідною або однорідною першого порядку.

Якщо , то функція виробництва має спадаючий ефект від масштабу виробництва ( збільшується у меншій пропорції, чим ) - виробництво розширювати не вигідно, вигідні менші виробництва.

Приклад 1.2.1.

Нехай маємо функцію виробництва:

,

де - капітал, - праця.

Припустимо, що і подвоюються, тоді новий рівень випуску продукції :

.

Якщо , то , то рівень випуску продукції збільшується більш, ніж у 2 рази, має місце зростаючий ефект від масштабу виробництва.

Якщо , то , то подвоєння і призводить до подвоєння - постійний ефект від масштабу виробництва.

Якщо , то , то збільшується менш, ніж у 2 рази, має місце спадаючий ефект від масштабу виробництва.

Розглянемо функцію виробництва і припустимо, що усі використані кількості виробничих факторів змінюються пропорційно у відношенні m (m>0), тоді:

(1.2.9)

Отже: якщо усі кількості виробничих факторів змінюються у відношенні m, то змінюється і продукція у відношенні m^B, де , тому функція виробництва є однорідною ступеня B.

Виробничі функції отримали широке застосування за кордоном в економічному аналізі діяльності окремих підприємств і капіталістичних об’єднань, але спроби скористатися ними для макроаналізу капіталістичного господарства виявились незадовільними.

Приклад 1.2.2.

Розглянемо функцію виробництва для австрійського сільського господарства у 1954-1955 роках, статистичні дані приведені у таблиці 1:

,

де - використані у виробництві земельні угіддя,

- сільськогосподарська праця,

- капітальні витрати.

Табл.1

№	Валовий прибуток (в млн. шилінгів)	Сільсько-господарська корисна площа (в тис. га)	Сукупні робочі дні (в млн.)	Витрати (в млн. шилінгів)
1	3860,7	601,692	30,79	1920,9
2	1909,5	326,725	31,61	1909,5
3	3928,6	602,469	46,98	3928,6
4	469,1	89,615	5,19	469,1
5	2158,2	448,875	35,38	2158,2
6	1700,9	350,735	21,73	1700,9
7	1112,7	219.351	13,96	1112,7
8	2852,1	570,086	43,92	2852,1

1) Визначимо степінь однорідності даної функції:

Функція однорідна степеня , це свідчить про постійний ефект від масштабу виробництва, збільшується майже у тій же пропорції, що й виробничі фактори. Немає ні прибутку, ні збитків при масовому виробництві, якщо збільшувати на деякий відсоток земельні площі, працю і капітальні вкладення, то можливо очікувати збільшення об'єму продукції на той же відсоток.

2) - еластичність виробництва за використаною земельною площею, показує, що якщо при інших рівних умовах збільшиться на 1% використана у виробництві земельна площа, то валова продукція австрійського господарства зросте на 0,14%.

3) – еластичність виробництва по праці, показує, що якщо при інших рівних умовах збільшиться сільськогосподарська праця на 1%, тоді продукція австрійського сільського господарства збільшиться на 0,29%.

4) – еластичність виробництва по капіталу, показує, що якщо збільшити на 1% капітал у австрійському сільському господарстві, то це призведе (при інших рівних умовах) до приросту сільськогосподарської продукції на 0,59%.

5) Обчислимо граничні продуктивності:

.

,

де , - середні геометричні величин (табл. 1.2) .

Табл. 1.2

Змінні	Середні геометричні
Валовий прибуток	=1883,22 млн. шилінгів
Земельні угіддя	=346,75 тис. га
Робочі дні	=24,05 млн.
Капітал	=759,77 млн. шилінгів

Граничні продуктивності, обчислені для геометричних середніх даних змінних дорівнюють:

;

,

.

Цей результат має таке тлумачення:

a) Припустимо, що при інших рівних умовах земельна площа збільшиться на 1000 га, тоді продукція австрійського сільського господарства збільшиться майже на 760 тис. шилінгів.

б) Припустимо, що при інших рівних умовах в Австрії збільшиться використання праці у сільському господарстві на 1 млн. робочих днів, тоді і продукція сільського господарства збільшиться приблизно на 22,5 млн. шилінгів.

в) Якщо капітальні вкладення у сільське господарство в Австрії збільшаться на 1 млн. шилінгів, тоді при інших рівних умовах і продукція сільського господарства збільшиться приблизно на 1,5 млн. шилінгів.