1 Определение закона распределения

И ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

При решении большого ряда практических задач автомобильного транспорта требуется установить качественную и количественную связь между исследуемыми параметрами на основании опытных данных. При этом различаются несколько основных задач, встречающихся при обработке результатов экспериментов:

1. Вид зависимости задан исходя из теоретических соображений. Значения постоянных, входящих в формулы, определяются на основании опытных данных методом наименьших квадратов.

2. Вид зависимости неизвестен. Его надо определить на основании опытных данных. Результаты опытов всегда содержат ошибки, поэтому экспериментальные данные подобных опытов отличаются друг от друга. В этом случае определяют вид аналитической функции, выражающей зависимость между средними значениями замеров. Эту задачу решает теория корреляции.

3. Зависимость между переменными описывается законом распределения случайной величины. В этом случае решается задача выравнивания (аппроксимации) эмпирического закона теоретической плотностью распределения. Делают это в следующем порядке:

а) по данным опытов строят эмпирический график;

б) определяют параметры предполагаемого эмпирического распределения;

в) по внешнему виду графика высказывают гипотезу о законе распределения исследуемой случайной величины;

г) проводят сравнение по одному из критериев согласия эмпирической и выровненной кривой.

Для выравнивания эмпирической кривой теоретическими плотностями надо знать основные признаки законов распределении и их графики. Поэтому ниже излагается каждый теоретический закон распределения вероятностей, его характерные признаки и методы проверки адекватности (согласованности) выдвинутого закона распределения опытным данным.

Обработку результатов опытов начинают с построения гистограммы или полигона частот. Для этого по результатам измерений определяют зону рассеивания размеров и делят ее таким образом, чтобы получилось не менее 5 и не более 20 интервалов. Количество интервалов К при заданном объеме N измерений можно приближенно вычислить по формуле:

Для некоторых значений N рассчитана табл. 2.

Таблица 2

Количество интервалов для заданного объёма замеров

Объём замеров N	50	100	500	1000	10000
Количество интервалов n	8	10	13	15	20

Ширина интервалов должна быть постоянной для всех интервалов Очень малая или очень большая ширина интервалов искажает вид криво распределения.

Определяет частоту m, появления значения рассматриваемого признака в каждом интервале. На графике по оси абсцисс откладывает значения выбранных интервалов и отмечают их середины. На перпендикулярах, восстановленных из середины каждого интервала, откладывают соответствующие частоты m . Ломанную, отрезки которой соединяют полученные точки, называет полигоном частот или эмпирической кривой. Если на перпендикулярах отложить отрезки, равные относительно, частоте , то получим полигон относительных частот.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высотами - отношение соответствующей частоты к длине интервала. При построении гистограмм относительных частот высоты прямоугольников берут равными отношению относительной частоты к длине интервала.

Форма полигона или гистограммы может подсказать закон распределения, который характеризуется рядом параметров. Точные значения параметров определяет их генеральной совокупности, а результаты опытов можно рассматривать как выборку, по данным которых можно построить лишь оценки неизвестных параметров. Каждую серию опытов можно рассматривать как различные выборки из генеральной совокупности. По каждой серии опытов можно построить оценку θ неизвестного параметра θ.все оценки будут различны между собой, таким образом оценку можно рассматривать как случайную величину. Оценки неизвестного параметра делятся на точечные и интервальные. Точечной называют оценку, определяемую одним числом. Интервальной оценкой называют оценку, определяемую двумя числами - концами интервала. Рассмотрим точечные оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

Оценкой математического ожидания случайной величины есть среднее выборочное значений замеров.

(1)

где хi - середины интервалов.

Дисперсию выборочную или статистическую определяют по формуле

(2)

Исправленная дисперсия - несмещенная оценка дисперсии генеральной. Она равна

(3)

Исправленное среднее квадратическое отклонение равно

(4)

а среднее квадратическое отклонение среднего результата вычисляют по формуле

(5)

Модуль разности между значением неизвестного параметра и его оценкой называет точность оценки.

Чем меньше σ, тем точнее оценка.

Надежностью или доверительной вероятностью оценкой называет вероятность ϋ с которой осуществляется неравенство , т.е.

Обычно доверительную вероятность задают числом, близким к единице, равным 0,95; 0,99; 0,999.

Интервал (θ*-σ; θ*+σ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью, называют доверительным.

Доверительный, интервал для математического ожидания по точечной его оценке среднему выборочному имеет вид

где

(6)

- определяют по таблице значений функции Лапласа, приложения 4.

Обычно по виду эмпирической кривой выдвигает гипотезу о законе распределения исследуемой величины. Для проверки выдвинутой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно, и называют ее критерием согласия. Для проверки гипотезы по данным опыта вычисляют частное значение входящих в критерий величин и получают частное или наблюдаемое значение критерия. Для этих же данных определяет по таблице теоретическое значение критерия, из сравнения полученных величин делают вывод о принятии выдвинутой гипотезы. Имеется несколько критериев согласия: χ² Пирсона, Романовского, Колмогорова, Смирнова и др.

Ограничимся описанием применения критериев Пирсона и Романовского.

Критерий χ² («хи» квадрат) или критерий согласия Пирсона сравнивает эмпирические частоты с теоретическими вычисленными а предположении выполнения закона распределения. Если расхождение частот случайно, то выдвинутая гипотеза правильна. Если расхождение частот неслучайно, то теоретические частоты вычислены при неверной гипотезе о законе распределения и ее надо отвергнуть. Критерии не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает вероятность того, что вдвинутая гипотеза согласуется с опытными данными при определенном уровне значимости.

Вероятность отвергнуть правильную гипотезу называется уровнем значимости ά.

Дли вычисления значения критерия определяют эмпирические частоты m_i, т.е. частоту попадания признака в каждый интервал и теоретические частоты m_i', которые определяют в зависимости от закона распределения. Наблюденное значение критерия вычисляем по Формуле

(7)

По таблице критических точек распределения χ² (см. приложение 2), по заданному уровню значимости ά и числу степеней свободы находят критическую точку χ²_табл. Число степеней свободы

(8)

де к - число групп;

r - число оцениваемых параметров.

Для нормального закона распределения r = 2, т.к. оцениваются значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения, следовательно,

(9)

Для показательного закона оценивается только один параметр λ, поэтому r =1 и

(10)

Если χ²_набл < χ²_табл можно считать, что опытные данные согласуется с теоретическими, выдвинутую гипотезу о законе распределения принимают.

Если χ²_набл > χ²_табл то гипотезу о законе распределения отвергают.

Критерий Романовского. По формуле (7) вычисляют χ²_набл и проверяют выполнение неравенства

где d - число степеней свободы.

Если неравенство выполняется, то выдвинутую гипотезу о законе распределения принимают.

Нормальный закон распределения. Нормальный закон распределения широко используется при оценке параметров надежности автомобилей.

Широкое распространение на практике случайных величин, распределенных по нормальному закону, объяснено выдающимся русским математиком А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме: если случайная величина χ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на вес суммы ничтожно мало, то χ имеет распределение, близкое к нормальному.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

(11)

Нормальное распределение характеризует два параметра:

a - математическое ожидание;

σ - среднее квадратическое отклонение.

График плотности нормального распределения (рис. 1) называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Рис. 1. Нормальная кривая, построенная при σ=1, кривая 1; σ =3, кривая 2; σ=7,5, кривая 3.

На форму кривой оказывает влияние величина параметра σ. С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, сама кривая становится более пологой, т.е. снимается к оси ОХ; При убывании σ нормальная кривая становится более "островершинной" и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Изменение величины параметра а не изменяет формы нормальной кривой, е сдвигает ее вдоль оси ОХ вправо, если а возрастает и влево, а убывает.

Схема выравнивания опытных данных нормальным законом распределения.

1. Строим гистограмму относительных частот.

2. Вычисляем по опытным данным оценки математического ожидания (1) и среднего квадратического отклонения (2).

3. Выравнивающие или теоретические частоты находим по формуле:

,

(12)

где Δх - длина частичного интервала;

,

X_i - середины частичных интервалов;

,

определяем по таблице приложения 1.

4. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим по критерию Пирсона. Вычисляем - χ²_набл (7). χ²_набл находим по уровню значимости ά, числу степеней свободы d = к - 3 в таблице приложения 2.

5. На гистограмме строим нормальную кривую по точкам, для которых абсциссы - середины частичных интервалов, ординаты - теоретические частоты.

2 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Показательный закон имеет широкое применение. Он хорошо описывает такие явления, как время обслуживания автомобилей на станции технического обслуживания, время замены агрегатов в ДТП, время установления неисправностей автомобилей, наработку на внезапный отказ, время наладки диагностического и технологического оборудования.

Показательными или экспоненциальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

при ,

(13)

где λ - плотность событий в единицу времени, т.е. среднее число событий в единицу времени.

Интегральная функция распределения показательного .зйкона равна

при ,

(14)

Графики этих функций приведены на рис.2.

Рис. 2. Графики функции , d(х) и F(x).

Характерный признак показательного закона распределения: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой и равны обратной величине параметра λ.

Показательное распределение широко применяется в теории надежности. Функция распределения F(t), где t - время работы устройства до наступления отказа, определяет вероятность отказа за время длительностью t. Тогда вероятность безотказной работы устройства за то же время равна:

,

(15)

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

,

где λ - интенсивность отказов.

Схема выравнивания экспериментальных данных показательным законом распределения.

1. Строим гистограмму частот.

2. Вычисляем М*(t)= по формуле (1) и по формуле (4).

3. Первой проверкой показательного распределения есть равенство М*(t) и S(t). Если оно оправдывается, то параметр:

.

(16)

4. Проверку правдоподобности гипотезы о показательном законе распределения проверяем по критерию Пирсона. Теоретические частоты вычисляем по формуле

,

где Р_i - вероятность попадания случайной величины в частичный интервал, вычисляемая из соотношения

,

(17)

Значения е^-λάi, е^-λβi вычисляем по таблице приложения 3. 3а ά_i, β_i - берем концы частичного интервала.

По уровне значимости ά и числу степеней свободы d=k -2 определяем по табл.2 значение χ_набл.