2. Побудувати градієнт цільової функції .

Так як ми розглядаємо задачі лінійного програмування і цільова функція є лінійною, то координати градієнта цільової функції співпадають з її коефіцієнтами, тому в будь – якій точці координати градієнта однакові. Але для полегшення побудови градієнт краще будувати з початком в початку координат (тобто в точці ). Тоді координати точки - кінця градієнта співпадають з координатами самого градієнта.

2. Побудувати пряму цільової функції (так звану гіперплощину), яка перпендикулярна градієнту цільової функції (наприклад, через початок координат, де =0).

4. Знайти місце розміщення оптимальних точок в допустимому просторі. Для цього побудовану пряму цільової функції зсунути за допомогою паралельного переносу вздовж градієнта і побудувати два її образи так, щоб ОПР знаходилась між ними і дотикалась їх. Зважаючи на те, що градієнт вказує в якому напрямку знаходиться точка максимуму, то з двох точок дотику перша точка в напрямку градієнта відповідає точці мінімуму, а друга – точці максимуму.

5. Знайти координати точок дотику ОПР. Для цього розв’язати системи рівнянь прямих, на перетині яких знаходяться ці точки. Результат розв’язування таких систем рівнянь дає оптимальні значення змінних.

6. Підставити у цільову функцію знайдені координати точок (оптимальні значення змінних) та знайти значення або відповідно.

Зауваження:

• Якщо серед обмежень математичної моделі є обмеження – рівняння, то ОПР є частина прямої (відрізок або промінь).

• Якщо пряма цільової функції розташовується паралельно одній з меж ОПР, то в цьому випадку задача має множину оптимальних розвязків з одним і тим самим значенням ( чи відповідно). Будь – яка точка тієї частини границі ОПР (відрізку), яка паралельна гіперплощині є точкою відповідного екстремуму (максимуму або мінімуму). Для того, щоб знайти оптимальні розв’язки, необхідно знайти координати кінців відрізка та , розв’язавши дві системи. Координати будь – якої точки , розташованої на відрізку знаходяться за формулою відрізка, а саме:

де - довільне число.

3. Приклади. Приклад № 1. Знайти графічним методом оптимальний розв’язок задачі за такою математичною моделлю:

цільова функція

;

обмеження:

.

і .

Розв’язок:

Згідно з обмеженнями задачі, будуємо ОДР (рис. 4).

1. 

	0	4
	4	0

Множина точок, координати яких задовольняють нерівності , знаходиться нижче прямої , так як коефіцієнт біля змінної додатний (1>0), а знак нерівності “ ” вказує на те, що це мають бути точки, які при однакових значеннях абсцис мають ординати менші, ніж відповідна точка на прямій .

2. 

	0	1
	4	1

Множина точок, координати яких задовольняють нерівності , знаходиться вище прямої , так як коефіцієнт біля змінної додатний (2>0), а знак нерівності “ ” вказує на те, що це мають бути точки, які при однакових значеннях абсцис мають ординати більші, ніж відповідна точка на прямій .

3. 

	-1	4
	1	0

Множина точок, координати яких задовольняють нерівності , знаходиться вище прямої , так як коефіцієнт біля змінної додатний (5>0), а знак нерівності “ ” вказує на те, що це мають бути точки, які при однакових значеннях абсцис мають ординати більші, ніж відповідна точка на прямій .

4. 

Ця пряма проходить паралельно вісі ординат через точку (3;0). Множина точок, яка задовольняє нерівності знаходиться зліва від прямої , тому що нерівність має знак “ ”.

4. 

Ця пряма проходить паралельно вісі абсцис через точку (0;3). Множина точок, яка задовольняє нерівності знаходиться нижче прямої , тому що нерівність має знак “ ”.

Зважаючи на те, що математична модель має ще обмеження на змінні і , то область знаходиться тільки в першій координатній чверті.

Потім будуємо градієнт цільової функції - вектор з початком в точці та кінцем в точці (2;3), а потім – пряму цільової функції перпендикулярно до побудованого градієнта. Побудовану пряму переміщуємо за допомогою паралельного переносу вздовж градієнта і будуємо два образи: та між якими знаходиться побудована ОДР. Так як за умовою задачі, необхідно знайти , то це значення знаходиться в точці дотику образа з ОДР, тобто в точці М, яка утворюється прямими та . Розв’язуючи їх сумісно, знаходимо , а значення цільової функції .

Рис. 4.

Відповідь: , .