Тема 9. Дифференциальные уравнения
В теме 9 рассматриваются следующие вопросы:
9.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка: теорема существования и единственности решения, задача Коши.
9.3. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка.
9.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
9.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
9.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Например,
-
дифференциальное уравнение третьего
порядка.
Например,
9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка:
теорема существования и единственности решения,
задача Коши
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
Задача отыскания
частного решения дифференциального
уравнения (12.7), удовлетворяющего
начальному условию
называется задачей
Коши. Приведенная
теорема устанавливает условие
существования и единственности решения
задачи Коши.
9.3. Неполные дифференциальные уравнения
первого порядка
9.4. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными
или
Замечание.
9.5. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка
9.6. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Замечание. Рассмотренный метод, известный также как метод Бернулли, применим и для решения уравнения вида
называемого уравнением Бернулли.
Тема 10. Числовые ряды
В теме 10 рассматриваются следующие вопросы:
10.1. Общие сведения о числовых рядах. Свойства сходящихся рядов.
10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
10.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
10.4. Признаки Даламбера и Коши.
10.5. Интегральный признак Коши.
10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
10.7. Знакопеременные ряды.
10.8. Абсолютная и условная сходимость.
10.9. Сходимость степенных рядов.
10.10. Свойства степенных рядов.
10.11. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложимость в ряд Маклорена бесконечно дифференцируемой функции.
10.12. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
10.13. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
10.1. Общие сведения о числовых рядах.
Свойства сходящихся рядов
10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд
10.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
10.4. Признаки Даламбера и Коши
10.5. Интегральный признак Коши
10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
10.7. Знакопеременные ряды
10.8. Абсолютная и условная сходимость
10.9. Сходимость степенных рядов
10.10. Свойства степенных рядов
10.11. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложимость в ряд Маклорена бесконечно дифференцируемой функции
10.12. Разложение в ряд Маклорена
некоторых элементарных функций
Таким образом, справедлива формула (64.4).
10.13. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
