Бор постулаттары.

Сызықтық спектрдің заңдылығын түсіндіру үшін Бор Резерфордтың

планетарлық атом моделі мен Планктың жарықтың кванттық табиғаты туралы гипотезаны біріктірді. Бор атомының теориясы 2 постулатпен негізделген:

(I) Бордың бірінші постулаты (стационарлық жағдайдағы постулат): Атомдарда әнергия шығармайтын стационарлы (уақыт бойынша өзгермейтін) жағдайлар бар. Атомның стационарлы жағдайына стационарлық орбиталар бойымен қозғалатын әлектрондар сәйкес келеді. Әр стационарлық жағдай әнергияның шектелген (дискретті) шамасымен сипатталады. Стационарлы орбита бойындағы әлектрондардың қозғалысы әлектромагниттік толқынның сәуле шығаруымен анықталмайды. Бордың орбиталдық кванттық ережесі бойынша атомның стационарлық жағдайындағы әлектрон орбитаның бойымен қозғала отырып, төмендегі шартты қанағаттандырады

ипмульс моментінің кванттық мәніне ие болуға тиіс. Мұндағы -әлектронның массасы, - ші радиус орбитасындағы жылдамдығы.

(II) Бордың екінші постулаты (жиілік ережесі):

Атом бір стационарлық күйден екіншісіне көшкенде бір фотон

стационарлық күйлерге сәйкес әнергиялар айырмасына тең әнергиямен шығарылады және жұтылады.

Сәуле шығару атомның көп әнергиялы жағдайынан аз әнергиялы жағдайына ауысуы кезінде болады (әлектронның ядродан көбірек алыстатылған орбитадан ядроға жақын орбитаға ауысуы).

Фотонның жұтылуы атомның көп әнергиялы жағдаймен ауысуымен шығарылады (әлектронның ядродан көбірек алыстатылған орбитаға ауысуы).

Кванттық өтулердің барлық мүмкін болатын дискретті жиілігінің жиыны: атомның сызықтық спектрін сипаттайды.

Бор бойынша сутегі атомының спектрі.

Дөңгелек стационарлы орбитамен шектеле отырып, сутегі тектес жүйедегі әлектронның қозғалысын қарастырайық. Ньютонның екінші заңы (басқа түрде: ) және импульс моментінің квантталуының шарты: арқылы әлектронның ші стационарлы орбитасының радиусын табуға болады:

Әлектронның бірінші орбитасының радиусы сутегі үшін (бірінші бор радиусы):

Сутегі тектес жүйедегі әлектронның толық әнергиясы кинетикалық және потенциалдық әнергиялардың қосылуынан табылады:

және орбиталарының квантталуын ескере отырып,

аламыз.

мұндағы минус таңбасы әлектронның байланысқан күйде екендігін білдіреді.

Атомның әнергетикалық деңгейін анықтайтын бүтін саны негізгі кванттық сан деп аталады. әнергетикалық деңгейі қалыпты деңгей деп, ал оған сәйкес келетін атомның күйі қалыпты күй деп аталады. деңгейлері және оларға сәйкес келетін күй қозған деп аталады.

ге бүтін мәндер бере отырып, суретте көрсетілгендей, сутегі атомына сәйкес әнергетикалық деңгейлер аламыз. Сутегі атомының минималды әнергиясы: Е₁ = -13,55 әВ. болғандағы максималды әнергия атомның иондалу әнергиясы деп аталады ( болғанда әлектрон атомнан үзіледі). стационарлы күйден m стационарлы күйге ауысу кванттың бөлініп шығарылуымен жүреді:

мұндағы .

теориялық мәні тәжірибе жүзінде анықталған Ридберг тұрақтысының мәнімен жақсы келісіледі.

Бор теориясы атомдық физикада, атомдық және молекулалық спектроскопияның дамуында үлкен роль атқарады, бірақ оның ішкі қарама-қайшылығы – классикалық және кванттық көрсеткіштердің қосылысы – соның негізінде көп әлектронды атомның спектрін дәлелдеуге жол бермеді (олардың ішіндегі ең қарапайымы – ядроның жанында екі әлектроны бар гелий атомы).

Лекция 26.

Де-Бройль гипотезасы. Белгісіздіктің қатынасы. Шредингер теңдеуі. Кванттық статистиканың әлементтері.

Де Бройль толқынының кейбір қасиеттері.

Массасы m, жылдамдығымен еркін қозғалатын бөлшекті қарастырайық.

Де Бройл толқынының фазалық жылдамдығы :

яғни де Бройль толқынының фазалық жылдамдығы вакуумдағы жарық жылдамдығынан үлкен (c> ).

- толқындық сан, арақатынастары қолданылған.

Де - Бройль толқынының топ жылдамдығы:

Еркін бөлшек үшін: сондықтан

Де - Бройль толқынының топ жылдамдығы бөлшектің жылдамдығына тең. Басқа сөзбен айтқанда, де - Бройль толқындары бөлшектермен бірге орналасады.

Фотон үшін : және

Анықталмағандық қатынастары.

М икробөлшектердің қосарланған корпускулалық-толқындық табиғаты, классикалық көрсеткіштердің көзқарасы бойынша, микрообъектілердің тағы бір ерекше қасиетін анықтайды – бөлшектің координатасы мен импульсін бір

уақытта нақты анықтау мүмкін емес.

Негізінде, әр бөлшекке толқындық процесс сәйкес келгендіктен, де Бройлдың толқын ұзындығының бөлшектер қатарының «орнықтылығының» анықалмағандығы және траекторияның классикалық түсінігі маңызын жоғалтады. Макроскопиялық объектілер үшін де - Бройльдің толқын ұзындығы аз жоғалады, сондықтан олар үшін қозғалыс траекториясы түсінігі қолданылады.

Жалпы жағдайда микрообъектілердің осы қасиеті Гейзенбергтің анықталмағандық қатынастары болып табылады.

Микробөлшек анықталған координатасына (x,y,z) және соған сәйкес анықталған импульс проекциясына (P_x,P_y,P_z) біруақытта ие бола алмайды, оның үстіне бұл шамалардың анықталмағандығы

қатынасын қанағаттандырады, яғни координатаның анықталмағандық туындысы және оған сәйкес импульс проекциясы h қатарының шамасынан аз болуы мүмкін емес.

Анықталмағандық қатынас бөлшектердің дифракциясында байқалады. Бөлшектер ағыны p импульспен Y осінің бойымен қозғалсын делік. Саңылау арқылы өтпей тұрғандағы импульстың құраушысы p_x=0, сондықтан p_x=0, ал x координатасы мүлдем анықталмаған болады. Бөлшектердің саңылау арқылы өткен кездегі бөлшектің x анықталмаған координатасы x саңылауының еніне тең болады. Бөлшектер дифракция салдарынан бұрыш шамасымен қозғалады, мұндағы бірінші дифракционды минимумға сәйкес келетін бұрыш. Сонымен, x осінің бойымен құраушы шаманың анықталмағандығы :

Басқа жағынан қарағанда, - бірінші дифракциялық минимумның шарты (6-15 бет.). Демек .

Бөлшектер бөлігі бірінші дифракциялық максимумның шегіне түскендіктен, теңдеуін, яғни анықталмағандық қатынасты аламыз.

Анықталмағандық қатынас - классикалық механиканы микрообъектіге қолдануды кванттық шектеу.

Микробөлшектер үшін олардың координатасы мен оларға сәйкес импульстың проекциялары біруақытта дәл шамаға ие болатын жағдайлар болмайды.

Жүйенің кейбір жағдайындағы әнергиясын және уақыт аралығын анықталмағандығы үшін, осы жағдай болған мезеттегі, тағы да анықталмағандық қатынасы орындалады:

Демек, орташа өмір сүру уақытына ие болатын жүйе әнергияның шектелген мәнімен сипаттала алмайды, әнергияның түсуі жүйенің өмір сүру уақытының төмендеуімен өседі және сондай-ақ сәуле шығарған фотонның жиілігі анықталмағандыққа ие болуы тиіс , яғни спектрлік сызықтар соңғы еніне ие болуы керек:

Толқындық функция және оның қасиеті.

Кеңістікте берілген нүктедегі Де - Бройль толқынының интенсивтілігі, микробөлшектердің дифракциясы туралы әдісті куәландыратын осы нүктеге түсірілетін бөлшектердің санымен байланысты. Сондықтан микробөлшектердің толқындық қасиеті оларды бейнелеудің статистикалық (ықтималдылық) жақындауын талап етеді.

Квантық жүйелердің көрсеткішін бейнелеу үшін толқындық функция (басқаша атауы – пси-функция ) енгізіледі. Ол ықтималдылықтың , бөлшек dV әлемент көлемінде мынаған тең болуымен анықталады:

функциясының физикалық мағынасы бұл функцияның өзі емес, де -Бройль толқынының интенсивтілігімен берілетін оның модулінің квадратына ( мұндағы - - мен комплексті түйіндес функция) ие. шамасы p_w ықтималдық тығыздығы мағынасына ие, ал толқындық функциясының өзі ықтималдық амплитудасы мағынасына ие. Ықтималдықты нөмірлеу шарты бөлшектің бар болу ықтималдығының кеңістіктің әйтеуір бір жерінде бірге тең болуынан (интеграл барлық шексіз кеңістік бойынша шығарылады)алынады.

Әлемент көлеміндегі микробөлшектердің әсерінен табылу ықтималдығын сипаттайтын толқындық функция, 1) шектеулі (ықтималдық бірден үлкен болуы мүмкін емес), 2) бірмәнді ( ықтималдық бірмәнді шама болмауы мүмкін емес), 3) үздіксіз (ықтималдық секіріп өзгеруі мүмкін емес).

Толқындық функция берілген микрообъектілерді сипаттайтын физикалық мәндердің орташа шамасын есептеуге ерік береді. Мысалы, орташа арақашықтық мына түрге ие:

, .

Толқындық функция суперпозиция принципін қанағаттандырады:

Егер жүйе толқындық функциялармен бейнеленетін әртүрлі күйлерде болатын болса, онда ол да сол сияқты осы функциялардың сызықтық комбинациясымен бейнеленетін күйде болады (мұндағы C_n (n=1,2,…) – туынды, негізінен айтқанда комплексті сандар).

Ықтималдықтар емес (толқындық функциялардың модулінің квадратымен анықталатын), тәуелсіз жағдайлар үшін ықтималдықты қосу теоремасы әділ толқындық функцияларды қосу (ықтималдықтар амплитудасы), кванттық теорияны классикалық статистикалық теориядан принципиальды ерекшелейді.

Шредингердің ортақ теңдеуі

Релятивті емес кванттық механиканың негізгі теңдеуі мынаған тең:

мұндағы бөлшектің массасы.

Лаплас операторы.

- жорамал бірлік, - өзі қозғалатын күш өрісіндегі бөлшектің потенциалдық функциясы, - бөлшектің ізделініп отырған толқындық функциясы.

Теңдеу толқындық функциямен жапсырылған шарттармен толықтырылады. (1) толқындық функция шекті, бірмәнді және үздіксіз болуы керек. (2) туындылары үздіксіз болуы керек. (3) интегралдану керек; бұл шарт қарапайым жағдайда ықтималдықты нөмірлеу шартымен ұқсас келеді.

Стационар күйлер үшін Шредингер теңдеуі.

Шредингердің ортақ теңдеуінің негізгі жеке жағдайы -дің уақытқа тәуелдігін шығаратын стационар күйлер үшін Шредингер теңдеуі болып табылады, сондықтан бұл күйлердің әнергия мәні орнықты (уақыт бойынша өзгермейді) болады. Бұл жағдайдағы бөлшек қозғалатын күш өрісі стационарлы, яғни көрініп тұрғандай, уақытқа тәуелді болмайды және потенциалдық әнергияның мәніне ие болады. Теңдеудің шешімі екі функцияның туындысы түрінде көрсетілуі мүмкін – тек координат функциясы және тек уақыт функциясы:

мұндағы - бөлшектің толық әнергиясы.

Шредингердің теңдеуі:

қысқартылудан кейін мына түрге ие болады:

немесе - стационар күй үшін Шредингер теңдеуі.

Физикалық мағынасы: тек тұрақты толқындық функциялар ғана шекті, бірмәнді және өзімен бірге бірінші туындысы үздіксіз. Бұл шарттар тек нің анықталған жиыны кезінде ғана орындалады. Бұл әнергияның мәні өзіндік деп аталады, әнергияның өзіндік мәніне сәйкес келетін шешім өзіндік функция деп аталады. өзіндік мән үздіксіз, сондай-ақ дискретті қатар құруы мүмкін. Бірінші жағдайда үздіксіз (тұтас) жайында, ал екінші – дискретті спектр жайында айтылады.

Паули принципі.

Әлектрондар (фермиондар) жүйесі табиғатта тек антисиметриялық толқындық функциямен бейнеленетін күйде ғана кездеседі.

Осыдан, бір жүйеге кіретін екі бірдей әлектрондардың (фермиондардың) бірдей күйде тұруы мүмкін еместігі шығады (болмаса орын ауыстыру кезінде толқындық функция жұп болған еді).

(Бірдей күйдегі бозондарда кез-келген сандардың болуы мүмкін еместігі көрсетіледі).

Паули принципінің басқаша тұжырымдамасы: бір және сол атомның өзінде бірдей 4 кванттық сандар жиынынан тұратын бір әлектроннан артық әлектрондардың болуы мүмкін емес.

Күй бойынша атомдардағы әлектрондардың таралуы.

Бір және сол негізгі кванттық саны бар, көпәлектронды атомдағы әлектрондардық жиынтығы әлектрондық қабық деп аталынады.

Берілген негізгі кванттық сандармен анықталатын күйде табылатын әлектрондардың максималды саны:

Әлектрондағы қабықтардың әрқайсысы, берілген ге сәйкес қабықшаларға бөлінеді.

0-ден -ге дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан, қабықшалар саны қабықтың реттік нөміріне тең болады.

Қабықшалардағы әлектрондардың саны және кванттық сандарымен анықталады: мен берілген қабықшалардағы әлектондардың максималды саны -ге тең.

Қабықтардың белгіленуі, сондай-ақ қабық пен қабықшалардағы әлектрондардың таралуы таблицада көрсетілген.

Негізгі кванттық сан	1	2		3			4				5
Қабықтың символы	K	L		M			N				O
Қабықтағы әлектрондардың максималды саны	2	8		18			32				50
Орбиталды кванттық сан l	0	0	1	0	1	2	0	1	2	3	0	1	2	3	4
Қабықшалардың символы	1s	2s	2p	3s	3p	3d	4s	4p	4d	4f	5s	5p	5d	5f	5g
Қабықшадағы әлектрондардың максималды саны	2	2	6	2	6	10	2	6	10	14	2	6	10	14	18

Атомдағы әлектрондық күйлерді систематикалық толтыру негізі бойынша жататын Паули принципі, жақын әлементтердің атомдарының ішкі қабықтарының құрылысында қайталануы Д. И. Менделеевтің әлементтерінің периодты жүйесін түсіндіреді.

Лекция 27.

Заттың конденсивті күйі. Фонондар. Ферми деңгейі.

Қатты денелер жылу сыйымдылығының кванттық теориясы негізін А.Әйнштейн салған болатын. Кейін П.Дебай торды құрап тұрған бөлшектердің төмен температурадағы өзара әсерлерін еске алған және және Дебай жеке бөлшектердің тербелістерін емес, тұтас тордағы орныққан тербелістерді қарастырды. Олай болса, заттың корпускулалық толқындық екі жақтылы қасиетіне сүйене отырып, кристалл тең фонондар деп түсіну керек.

Бозе-Әйнштейн және Ферми-Дирак кванттық

статистикалары туралы ұғым.

Ұқсас объектілердегі үлкен сандарды зерттеу үшін (атомдардағы, молекулалардағы) молекулалық физикада қолданылатын классикалық статистикалық әдіске сәйкес, айнымайтын бірдей кванттық бөлшектердің үлкен сандарынан тұратын кванттық механиканың заңдарына бағынатын кванттық жүйелер үшін кванттық статистикасының әдістері қолданылады.

Классикалық жүйелердің молекулалық физикасында берілген температурасы кезіндегі сыртқы потненциалдық өрістегі идеалды газдардағы әнергиялардың таралуы Больцман таралуымен бейнеленетінін ескертейік:

мұндағы -Больцман тұрақтысы.

Кванттық статистикада сондай-ақ, бірдей бөлшектердің жиынынан құралатын жүйенің берілген кванттық күйін толтырудың деңгейін көрсететін толтыру саны деп аталатын кванттық сандар жиынымен берілген кванттық күйдің негізгі сипаттамасы болып табылатын квазибөлшектердің идеалды газының моделі қолданылады.

Бозондар болып құрылған жүйелер үшін, толтыру сандары кез-келген толық мәнді қабылдай алады: 0,1,2,...

Фермиондар болып құрылған жүйелер үшін, толтыру сандары тек 2 мәнді ғана қабылдай алады: бос күйлер үшін 0, бос емес күйлер үшін 1. Барлық сандардың толтырылу қосындысы жүйелердегі бөлшектердің санына тең болуы керек. Кванттық статистикада берілген кванттық күйдегі бөлшектердің орташа санын есептеуге, яғни толтырудың орташа санын анықтауға болады.

Бозондардан тұратын идеалды газ – бозе-газ - Бозе-Әйнштейн кванттық статистикасын бейнелейді.

Бозе-Әйнштейн таралуы - бозе-газдағы әнергетикалық күй бойынша бөлшектердің таралуын білдіретін заң: статистикалық тепе-теңдік кезінде және әнергиясы бар күйдегі бөлшектердің орташа сандарының қатынасы жоқ кезінде:

.

мұндағы -Больцман тұрақтысы, - термодинамикалық (абсолюттік) температура, - химиялық потенциал –барлық басқа бөлшектердің ішкі әнергиясы (әнтропия, көлем және т.б) тәуелді болатын шартта жүйедегі бөлшектер санының өзгерісі кезіндегі жүйедегі бөлшектердің ішкі әнергиясының (жалпы айтқанда, басқа термодинамикалық потенциалдар) өзгерісін анықтайтын күйдің термодинамикалық функциясы.

Фермиондардан тұратын идеалды газ – ферми-газ - Ферми-Дирактың кванттық статистикасын бейнелейді.

Ферми-Дирак таралуы - ферми-газдағы әнергетикалық күй бойынша бөлшектердің таралуын білдіретін заң: статистикалық тепе-теңдік кезінде және әнергиясы бар күйдегі бөлшектердің орташа сандарының қатынасы жоқ кезінде:

Жоғары температура кезінде, болғанда екеуі де

Бозе-Әйнштейн және Ферми-Дирак таралуы да Максвелл-Больцманның классикалық таралуына ауысады:

, мұндағы . Сондықтан, жоғары температура кезінде «кванттық» газдың екеуі де өздерін классикалық газ тәрізді көрсетеді.

Лекция 28.

Металдардың, диәлектриктердің және жартылай өткізгіштердің зондық теориясы. n-p типті жартылайөткізгіштер.