§11.3. Таңбалары әртүрлі сандық қатарлар

1. Абсолютті және шартты жинақтылық. Айталық, сандық қатар болсын. Осы қатар сәйкес, мүшелері берілген қатардың тек абсолют шамаларынан тұратын жаңа қатар құрайық. Егер: жаңа қатар жинақты болса, онда берілген қатар абсолютті жинақты, ал жаңа қатар жинақсыз, берілген қатардың өзі жинақты болса, онда ол шартты жинақты деп аталады.

М, 10*, а) , ә)

қатарларын жинақтылыққа зерттейік.

Шешуі. Берілген қатарлардың мүшелерінің абсолютті шамаларынан құралған қатарларды қарастырамыз. Олардың біріншісінен, болатындығы белгілі. Ендеше, мүшелері кемімелі геометриялық прогрессия болатын қатар. Ондай қатар жинақты. Ендеше, берілген екі қатар да абсолютті жинақты.

2. Таңбалары алма-кезек ауысатын қатарлар. 11.10 Теорема (Лейбниц белгісі). Айталық, таңбалары алма-кезек ауысатын (11.11) қатары берілген болсын. Анығырақ болу үшін болсын. Егер: біріншіден,

екіншіден, болса, онда берілген қатар жинақты, ал қатардың қосындысы бірінші мүшеден аспайды және қалдық қатар үшін ара қатынасы орындалады.

Мұндай шарттарды қанағаттындыратын қатарлар Лейбниц қатарлары деп аталады.

Мысал үшін,  Лейбниц қатары болғандықтан жинақты, ал оның қосындысын ге дейінгі дәлдікпен табатын болсақ,

.

1. Таңбалары әртүрлі жинақты қатарлар қасиеттері

М. 11^*. , қатарын қарастырайық.

Шешуі. Біріншіден, бұл қатар Лейбниц қатары болғандықтан жинақты. Екіншіден,  гармоникалық қатар жинақсыз. Ендеше, қарастырылып отырған қатар шартты жинақты.

Айталық, берілген қатардың қосындысы болсын.

Онда , Енді берілген қатар мүшелерін – екі оң мүшеден кейін бір теріс сан келетіндей етіп қосылғыштардың орындарын ауыстырайық,

Мұндағы болғандықтан, дербес қосындылар тізбегі үшін ара қатынастары орындалады, яғни (*) қатардың қосындысы болса, онда , Ал шын мәнінде . Қарама-қайшылық: пайда болды. Демек, берілген жинақты қатардың орындарын ауыстырғаннан оның қосындысының өзгермейтіндігінен байқадық. Сондықтан, осы мәселеге тоқталғанымыз жөн болатын сияқты.

5º. 11.11 Теорема (Дирихле). Егер қатары абсолютті жинақты және қосындысы болса, онда осы қатар мүшелерінің ауыстырғаннан қатардың жинақтылығы және қосындысы өзгермейді, яғни қатар абсолютті жинақты және қосындысы болады.

6º, 9, 12 Теорема (Риман теоремасы), Егер қатары шартты жинақты болса, онда кез келген алдын ала алған саны үшін, қосындысы осы санына тең болатындай етіп берілген қатар мүшелерінің орындарын ауыстыруға болады

§11.4. Функционалды қатарлар

1. Жинақталу аймағы. нүктесінде (11.13) функционалды

қатар  сандық қатарға айналады. Егер, алынған сандық қатар жинақты болса, онда функционалды қатар нүктесінде жинақты деп аталады. Ал функционалды қатар жиынының барлық нүктесінде жинақты болса, онда қатар жиынында жинақты деп аталады, Өз кезегінде, функционалды қатар жинақты болатын жиын  қатардың жинақталу аймағы деп аталады.

Функционалды қатардың қосындысы деп,

(11.16)

нүктесінде анықталған ақырлы функцияны айтады. Онда жинақты функционалды қатар үшін

(11.17)

теңдігі орындалады. Мұндағы .

Егер қатары жинақты болса, онда қатары абсолютті жинақты деп аталады.

; (11.18)

болса, функционалдық қатардың абсолютті жинақты болатын аймақ үшін , ал жинақсыз болатын аймақ үшін ара қатынастарын қанағаттандыратын мәндерінің жиыны алынады,

М. 11.^* а) , ә) , б) , в) функционалдық қатарларының жинақталу аймағын табайық,

Шешуі, а) Коши белгісі бойынша,

,

Демек, болғанда қатар абсолютті жинақты ал қатар жинақсыз, Енді болғандықтан, және шеткі нүктелеріндегі қатардың тәртібін тексеруге міндетіміз, Сондықтан,

1º, ─Лейбниц қатары – жинақты;

2º, ─ гармоникалық қатар – жинақсыз,

Ендеше, қатарының жинақталу аймағы ,

ә) Д’Аламбер белгісін пайдаланайық,

,

Берілген функционалдық қатардың абсолютті жинақты аймағы ара қатынасын қанағаттандыратын мәндер жиынтығы, Сонымен,

аралығында қатар абсолютті жинақты,

Ал,

аралығында функционалдық қатар жинақсыз,

Біздің ендігі мақсатымыз: және нүктелеріндегі қатардың тәртібін тексеру,

1º.  жинақсыз;

2º. - жинақсыз.

Сонымен, қарастырылған қатардың абсолютті жинақталу аймағы ,

Соңғы екі қатарды салыстыру белгісі бойынша зерттейік

б)  жинақты бигармоникалық қатар, ендеше қатар жинақты.

в)  жинақсыз гармоникалық қатар, демек берілген сандық қатар жинақсыз.

М.13.^* , Функционалды қатардың қосындысын есептейік.

Шешуі. Айталық,  берілген қатардың қосындысы болсын, Әрине болатындығы анық. Ал болғанда, қатар айырымы болатын шексіз кемімелі геометриялық прогрессия және қосындысы

,

Сонымен, берілген қатардың қосындысы:

Демек, берілген қатардың әрбір мүшесі кесіндісінде үзіліссіз функциялары болғанымен, олардың қосындысы болатын  үзілісті функция болып шықты,