10.2.3. Үш еселі интегралда айнымалыларды ауыстыру.

1°. Цилиндірлік координаталар жүйесі.

(10.26)

якoбиан –

(10.27)

(10.28)

М.10*.

интегралын, , беттерімен шектелген денесі бойынша есептейік.

Ш ешуі. Берілгені бойынша денесі цилиндрі, жазықтығы және параболоиды арасында жатыр (10.16-сурет). Ендеше, (10.26) айнымалыларды ауыстыру формулалары бойынша, , теңсіздіктері арқылы

− денесін аламыз. Ендеше, (10.27) теңдікті пайдалану арқылы:

М.11*. беттерімен шектелетін денесінің көлемін есептейік.

Шешуі. - кіндігі бас нүктеде жататын, болатын жоғарғы жарты сфера . Ал - параболойдтың теңдеуі.

Жоғарыдағы (10.26) – айнымалыларды ауыстыру формулаларын енгізу арқылы:

берілген параболоид пен жоғары жарты сфера қиылысы жаызқтығында жатқан шеңбері болып табылады. Демек,

Сонымен, (10.28) теңдік бойынша,

2º. Сфералық координаталар жүйесі.

Якобиан

(10.30)

(10.32)

М.12*. интегралын :

денесі бойынша есептейік.

Шешуі. Берілген беттермен шектелген денесі радиусы - -ға тең, кіндігі бас нүктеде жататын шардың бірінші октантта орналасқан бөлігі (10.24-сурет). Онда,

Сонымен, (10.30),(10.31) теңдіктерді пайдаланып

М.13*. теңсіздіктерімен берілген беттермен шектелген денесінің көлемін есептейік.

Шешуі. Бірден сфералық координаталарына көшсек

Е кінші айнымалы - ның өзгеру аралығын табу үшін беті мен (немесе ) бетіне қиылысуын қарастырамыз. Бұл кезде (немесе ) түзулері аралығын аламыз (10.17-сурет). Бұдан болып шығатындығын көреміз.

Ең соңында, теңсіздігін қарастырамыз.

Сонымен,

Ендеше, (10.32) формула бойынша,

§ 10.3. Еселі интегралдардың кейбір қолданыстары

10.3.1. Беттердің ауданы.

(10.41)

(10.42)

М.14*. Төменде берілген беттердің аудандарын есептейік:

а)

ә)

б)

Шешуі. а) беті айқын түрде берілген. Ендеше,

. Онда (10.41) формуладағы түбір астындағы өрнек,

Демек,

(өлш.2)

ә) Теңдеуді параметр түріне келтірейік. Ол үшін сфералы координаталар жүйесіне көшейік, яғни

Демек,

.

Ендеше, (10.39) формула бойынша,

(өлш.).

б) беті айқындалмаған түрде теңдеуімен берілген. Оның жазықтығында проекция

дөңгелегі болып шығады

.

Демек, конусы үшін (10.42) формула бойынша

(өле. ).

Мұндағы аймағының ауданы , ал жазықтығында дөңгелек.

10.3.2. Жазық табақшаның ауырлық кіндігі.

(*)

(10.44)

шамалары, сәйкес және өстері бойынша алынған табақшаның статикалық моменттері деп аталады.

10.3.3. Табақшаның инерциялық моменттері.

(10.45)

М.15*. , беттерімен шектелген (10.26-сурет) табақшаға байланысты, оның ауырлық кіндігі координаталары мен инерциялық моменттерін табайық ( тығыздық).

Шешуі. Табақша массасы

(өлш.).

Онда ауырлық координаталары:

Ал инерциялық моменттер: