1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0 ≤ F ( x ) ≤ 1.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси,т.е. при х ₂ > х ₁ F ( x ₂ ) ≥ F (х ₁ ).

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.Е.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [х 1 , X 2 ) (включая х 1 ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.Е.

Р (х ₁ ≤ X < х ₂ ) = F (х ₂ ) – F (х ₁ ). (7.38)

Пример 7.15. Функция распределения случайной величины X имеет вид

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале [1; 3).

Решение.

По формуле (7.38)

Р (1 ≤ X < 3) = F (3) – F (1) = 1 – 0,5 = 0,5. ►

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Для непрерывной случайной величины X вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю,т.е. Р (Х = х ₁ ) = 0, а вероятность попадания X в интервал (х ₁ , x ₂ ) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым (т.е., например, Р (х ₁ < X < х ₂ ) = Р (х ₁ ≤ X ≤ х ₂ )).

Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) φ( x )непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения:

φ( x ) = F ′ ( x ). (7.39)

Плотность вероятности φ( x ), как и функция распределения F ( x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Пример 7.16. По найти плотность вероятности случайной величины X .

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.

1. Плотность вероятности — неотрицательная функция, т.е. φ( x ) ≥ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а , b ] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b , т.Е.

(рис. 7.5).

Рис. 7.5

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле

(рис. 7.6).

Рис. 7.6

4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

Геометрические свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М (Х ) и дисперсия D ( X ) определяются по формулам

(7.43)

(если интеграл абсолютно сходится);

или

(если интегралы сходятся).

Модой М o (Х ) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность р _i или плотность вероятности φ( x ) достигает максимума) .

Медианой Ме (Х ) случайной величины X называется такое ее значение, для которого

т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или большее медианы Ме(Х ), одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме (Х ), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме (Х ), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 7.8). Очевидно, что в точке х = Ме (Х ) функция распределения равна 1/2, т.е. F ( Me ( X )) = 1/2.

Рис. 7.8

Квантилем уровня q (или q -квантилем) называется такое значение х _q случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q , т.е.

F (х _q ) = P ( X < х _q ) = q . (7.45)

Квантили х _0,25 и х _0,75 называют соответственно нижним и верхним квартилями; х _0,1 , х _0,2 , …, х _0,9— децилями; квантили х _0,01 , х _0,02 , …, х _0,99 — процентилями.

Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v _k и центральные μ _k моменты k -го порядка, определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам

где а = М (Х ).

Соотношения между начальными и центральными моментами:

μ ₁ = 0; μ ₂ = v ₂ – v ₁ ² ;

μ ₃ = v ₃ – 3 v ₁ v ₂ + 2 v ₁ ³ ; μ ₄ = 4 v ₁ v ₃ + 6 v ₁ ² v ₂ – 3 v ₁ ⁴ .

Математическое ожидание М (Х ), или первый начальный момент v ₁ , характеризует среднее значение или положение распределения случайной величины на числовой оси; дисперсия D ( X ), или второй центральный момент μ ₂ , — степень рассеяния распределения X относительно М (Х ); коэффициент асимметрии

где μ ₃ — центральный момент третьего порядка, являющийся характеристикой асимметрии (скошенности) распределения; эксцесс (или коэффициент эксцесса)

где μ ₄ — центральный момент четвертого порядка, характеризующий крутость (островершинность или плосковершинность) распределения.

Энтропией Н = Н (Х ) случайной величины X называется число, определяемое в дискретном случае формулой

а в непрерывном случае — формулой

(считается, что 0 * log ₂ 0 = 0).

Энтропия является мерой неопределенности случайной величины X . Она не зависит от значений случайной величины x_i, а определяется только их вероятностями p_i .

Энтропия в некотором смысле представляет минимальный объем памяти, необходимый для записи информации, содержащейся в случайной величине.

Свойства энтропии Н (Х ).

1. Н (Х ) = 0, когда случайная величина X принимает единственное значение с вероятностью 1.

2. Н (Х ) принимает максимальное значение Н _max (в дискретном случае H _max = log ₂ n ), когда все исходы равновероятны ( p_i = 1/п , i = 1,..., п ).

Некоторые распределения случайных величин. Производящая и характеристическая функции