Раздел 1. Интегральное исчисление §1. Неопределенный интеграл

1. Функция называется первообразной для функции на интервале , если на этом интервале существует производная и .

2. Совокупность всех первообразных от функции называется неопределенным интегралом от этой функции.

1. .

Таблица интегралов от основных функций.

1.	частный случай:	5.
		6.
		7.
2.		8.
3.		9.
4.		10.

Основные правила вычисления интегралов

1. Постоянное число можно выносить перед знаком интеграла:

.

2. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

.

Пример 1. .

Выполним следующий порядок вычислений:

1. Воспользуемся правилами вычисления интегралов: разобьем интеграл на сумму интегралов и вынесем постоянные множители перед знаками интегралов.

2. Представим дробь и корень в виде степенных функции и .

3. Воспользуемся таблицей интегралов, записав константу один раз в конце.

4. Преобразуем полученное выражение.

Итак, получаем следующее решение:

.

Сделаем проверку. Для этого продифференцируем полученное выражение. Согласно определению неопределенного интеграла должна получиться подинтегральная функция:

.

Методы вычисления интегралов

1. Метод разложения.

Основная идея метода – с помощью алгебраических действий привести интеграл к простейшим (табличным) интегралам.

Пример 2. Вычислить .

Выполним следующий порядок вычислений:

1. Поделим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

2. Воспользуемся формулой тригонометрии и по свойству степенной функции представим .

3. Сократим дроби, воспользовавшись во втором слагаемом свойством степенной функции .

4. Воспользуемся правилами вычисления интегралов: разобьем интеграл на сумму интегралов и вынесем постоянные множители перед знаками интегралов.

5. Воспользуемся таблицей интегралов, записав константу один раз в конце.

6. Преобразуем полученное выражение:

.

2. Метод замены переменной.

Основная идея метода – в интеграле сделать замену переменной . Тогда , и сложный исходный интеграл преобразуется в более простой .

Этим методом решают примеры, в которых под знаком интеграла одновременно присутствуют некоторая функция и ее производная.

Пример 3. Вычислить .

Заметим, что под интегралом содержится функция и ее производная . Следовательно, исходный интеграл можно упростить, сделав замену – обозначив эту функцию буквой :

Пример 4. Вычислить .

Заметим, что под интегралом содержится выражение . Его производная равна , при этом степень также содержится внутри интеграла. Следовательно, можно сделать замену :

.

Этим же методом решают примеры, в которых функция зависит от аргумента вида , который также заменяют буквой , при этом , отсюда .

Пример 5. Вычислить .

.