4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение. Число возможных вариантов

По условию задачи благоприятный исход (орел не выпадет ни разу) возможен только при комбинации "РРРР", т.е. один раз. Следовательно, N(A) = 1. Искомая вероятность: Ответ: 0,0625.

5. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Число возможных вариантов .

Произведем подсчет возможных вариантов выпадения 15 очков. Если на первом кубике выпадает 3 очка, то вариант один: 366. При выпадении на первом кубике 4 очков имеем: 465 или 456, 5 очков - 546, 555, 564, 6 очков - 645, 654, 663. Следовательно, N(A) = 9. Искомая вероятность: Ответ: 0,04.

В задачах с монетами помимо метода перебора комбинаций можно использовать специальную формулу вероятности.

Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле: , где C_n^k — число сочетаний из n элементов по k, которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

6. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Решение:

По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу: .

С тем же успехом можно считать число решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет таким же.

Ответ: 0,25

7. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Решение:

Снова выписываем числа n и k. Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу: .

Ответ: 0,125

8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Решение:

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть Р₁ — вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем: .

Теперь найдем Р₂ — вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем: .

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности Р₁ и Р₂. (складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий).

Имеем: Р = Р₁ + Р₂ = 0,25 + 0,0675 = 0,3175.

Ответ: 0,3175

Сложение и умножение вероятностей

В решениях задач этого блока используются следующие утверждения из теории вероятности.

Объединение событий — событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий A, B. Пересечение событий — событие, состоящие из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям A и B.

Противоположное событие.

Событие , состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в A, называется противоположным событию A.

Несовместные события — события, которые не наступают в одном опыте. Например, противоположные события несовместны.

Вероятности противоположных событий:

; . Формула сложения вероятностей для совместных событий: Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного наступления. . Формула сложения вероятностей для несовместных событий: Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей.

Формула умножения вероятностей для независимых событий: Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей событий А и В.

Формула умножения вероятностей для зависимых событий: Вероятность совместного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Приведём схему, облегчающую применение формул при решении задач: