Лабораторна робота №4. Аналітичні технології в інформаційних системах менеджменту: кореляційно-регресійні моделі та аналіз динамічних рядів статистичних даних економічних і виробниих процесів.

Теоретичні відомості

Функция , описывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии. Уравнение регрессии показывает ожидаемое значение зависимой переменной при определенных значениях зависимых переменных .

В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии).

В зависимости от вида функции модели делятся на линейные и нелинейные.

Модель множественной линейной регрессии имеет вид:

y _i = ₀ + ₁x _{i 1} +₂x _{i 2} +…+ _k x _{i k} + _i

- количество наблюдений.

коэффициент регрессии _j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак , если переменную x_j увеличить на единицу измерения, т. е. _j является нормативным коэффициентом.

Анализ уравнения (2.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи:

Где – вектор зависимой переменной размерности п  1, представляющий собой п наблюдений значений .

- матрица п наблюдений независимых переменных , размерность матрицы равна п  (k+1) . Дополнительный фактор , состоящий из единиц, вводится для вычисления свободного члена. В качестве исходных данных могут быть временные ряды или пространственная выборка.

- количество факторов, включенных в модель.

a — подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (k+1)  1;

— вектор случайных отклонений (возмущений) размерности п  1. отражает тот факт, что изменение будет неточно описываться изменением объясняющих переменных , так как существуют и другие факторы, неучтенные в данной модели.

Таким образом,

Y = , X = , , a = .

Уравнение содержит значения неизвестных пара­метров ₀,₁,₂,… ,_k . Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрес­сии, в которой вместо истинных значений параметров под­ставлены их оценки (а именно такие регрессии и приме­няются на практике), имеет вид

,

где A — вектор оценок параметров; е — вектор «оценен­ных» отклонений регрессии, остатки регрессии е = Y - ХА; —оценка значе­ний Y, равная ХА.

Построение уравнения регрессии осуществляется, как правило, методом наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результатного признака от его расчетных значений, т.е.:

.

Формулу для вычисления параметров регрессионного уравнения по методу наименьших квадратов приведем без вывода

Качество модели регрессии связывают с адекватностью модели наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблю­даемым данным проводится на основе анализа остатков - .

Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа, остатки должны вести себя как независимые (в действительности, почти независимые) одинаково распределенные случайные величины.

Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям:

1. проверка качества всего уравнения регрессии;

2. проверка значимости всего уравнения регрессии;

3. проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;

4. проверка выполнения предпосылок МНК.

При анализе качества модели регрессии, в первую очередь, используется коэффициент детерминации, который определяется следующим образом:

, где - среднее значение зависимой переменной,

- предсказанное (расчетное) значение зависимой переменной.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находя­щегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, ка­кая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влия­нием на него факторов.

Чем ближе к 1, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также ис­пользовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R

R = =

Данный коэффициент является универсальным, так как он отра­жает тесноту связи и точность модели, а также может использовать­ся при любой форме связи переменных.

Важным моментом является проверка значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров.

Оценить значимость уравнения регрессии – это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y

Оценка значимости уравнения регрессии производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Если расчетное значение с ₁= k и ₂ = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дис­персии остаточной компоненты, которая представляет собой отно­шение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величи­не (n- k -1), где k – количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины ( ) называется стандартной ошибкой:

значимость отдельных коэффициентов регрессии проверяется по t-статистике пу­тем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

,

где S_aj — это стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии a_j. Величина S_aj представляет собой квадратный корень из произ­ведения несмещенной оценки дисперсии и j -го диагонального эле­мента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений.

где - диагональный элемент матрицы .

Если расчетное значение t-критерия с (n - k - 1) степенями сво­боды превосходит его табличное значение при заданном уровне зна­чимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует ис­ключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Общий подход к построению уравнения регрессии на примере линейной модели.

Рассмотрим, как решается задача нелинейной оптимизации с помощью средства Поиск решений на примере построения линейного уравнения регрессии. Имеются две наблюдаемые величины х и у, например объем реализации фирмы , торгующей подержанными автомобилями за 6 недель ее роботы .

Рис. 4.1. Нахождение коэффициентов линейной регрессии

Необходимо построить линейную модель y=mx+b, наилучшим образом описывающею наблюдаемое значение.Обычно m и b подбирают так, чтобы минимизировать суммусцмму квадратов разностей между наблюдаемыми и теоретиескими знаениями переменной у.

Для решения этой задачи отведем под переменные m и b ячейки D3 , E3 соответственно, а в ячейку F3 введем минимизируемую функцію

{= СУММКВРАЗН(В2:В7; Е3+D3*А2:А7)}

Эта функция вычисляет сумму квадратов разностей для элементов указанных массивов.

Теперь выберем команду Сервис, Поиск решений и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решений как показано на рис.

Рис. 4.2. Диалоговое окно Поиск решений

Функция рабочего листа для уравнения линейной регрессии.

Отметим, что на переменные m и b ограничения не налагаются. В результате вычислений средство поиска решений найдет m = 1.885714 и b =5,400.

Параметры m и b линейной модели y=mx+b из предыдущего примера можно определить с помощью функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Первая функция определяет коэффициент наклона линейного тренда. Синтаксис функции:

НАКЛОН (известные_значения_у; известные_значения_х)

Функция ОТРЕЗОК определяет току пересеения линии линейного тренда с осью ординат. Синтаксис:

ОТРЕЗОК(известные_значения_х; известные_значения_у).

Рис. 4.3.Линия линейного тренда

В ячейках D2 и Е2 соотвктственно найдены m и b по формулам:

= НАКЛОН(В2:В7; А2:А7)

= ОТРЕЗОК(В2:В7; А2:А7).

Методические указания

Для выполнения лабораторной работы необходимо также воспользоваться стандартными функциями пакета Excel:

КОРРЕЛ - Возвращает коэффициент корреляции меду интервалами ячеек массив1 и массив2. Коэффициент корреляции используется для определения наличия взаимосвязи между двумя свойствами.

FРАСП - Возвращает F-распределение вероятности. Эту функцию можно использовать, чтобы определить, имеют ли два множества данных различные степени разброса результатов.

FРАСПОБР - Возвращает обратное значение для F-распределения вероятностей. Если p = FРАСП(x;...), то FРАСПОБР(p;...) = x. F-распределение может быть использовано в F-тесте, который сравнивает степени разброса двух множеств данных.

ТЕНДЕНЦИЯ - Возвращает значения в соответствии с линейным трендом. Аппроксимирует прямой линией (по методу наименьших квадратов) массивы известные_значения_y и известные_значения_x. Возвращает значения y, в соответствии с этой прямой для заданного массива новые_значения_x.

Функция ТЕНДЕНЦИЯ вычисляет значение уравнения линейной регрессии для целого диапазона значений независимой переменной, как для одномерного так и для многомерного уравнения регрессии. Многомерная линейная модель регрессии имеет вид:

y=m₁x₁+…+m_nx_n+b.

Синтаксис:

ТЕНДЕНЦИЯ (известные_значения_у; известные _ значения_х; новые _ знчения _ х; конст) .

ЛИНЕЙН - Возвращает массив значений параметров уравнения многомерной линейной регрессии.

Синтаксис:

ЛИНЕЙН (Известные_значения_у - Массив известных значений зависимой наблюдаемой величины.

Известные_значения_х -Массив известных значений неизвестной наблюдаемой величины. Если этот аргумент опущен, то предполагается, что этот массив {1,2,3,…} такого размера, как и предыдущий массив.

Конст - логическое значение, которое указывает, требуется ли чтобы константа b была равна 0. Если аргумент конст имеет значение ИСТИНА или опущен, то константа b вычисляется обычным образом. Если конст имеет значение ЛОЖЬ то константа b полагается равной 0.

Статистика - логическое значение которое указывает, требуется ли вывести дополнительную статистику по регрессии, например коэффициент корреляции. Если статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН возвращает дополнительную регрессионную статистику . Если аргумент статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущен, то функция ЛИНЕЙН возвращает только значение коэффициентов.

В лабораторной работе по данным, выводимым дополнительной статистикой функции ЛИНЕЙН, выполнить

• проверку качества уравнений регрессии;

• проверку значимости всех уравнений регрессии;

• проверку статистической значимости коэффициентов уравнений регрессии.

Коэффициенты регрессии могут быть найдены также с помощью построения линии тренда. Для этого постройте точечный график по диапазону ячеек А2:А7, выделите точки графика двойным щелчком, а затем щелкните их правой кнопкой мыши. В раскрывшемся контекстном меню выберите команду Линии тренда, а также тип линии тренда (аппроксимации): линейная, логарифмическая, полиномиальная, степенная, экспоненциальная. Установите флажки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму велиину достоверности аппроксимации R². Отображенные на диаграмме данные позволяют прогнозировать теоретиеское значение наблюдаемой переменной у и оценивать качество уравнения регрессии.

Экспоненциальное сглаживание.

Применяется для предсказания значения на основе прогноза для предыдущего периода, скорректированного с учетом погрешностей в этом прогнозе. При анализе используется константа (коэффициент) сглаживания, по величине которой определяется степень влияния на прогнозы погрешности в предыдущем прогнозе. Для константы сглаживания наиболее подходящими являются значения от 0,2 до 0,3. Эти значения показывают, что ошибка текущего прогноза установлена на уровне от 20 до 30 процентов ошибки предыдущего прогноза. Более высокие значения константы ускоряют отклик, но могут привести к непредсказуемым выбросам. Низкие значения константы могут привести к большим промежуткам между предсказанными значениями.

Алгоритм расчета експоненциального сглаживания значений в любой точке ряда (і) основан на трех величинах:

1. Фактическое значение А_і в данной точке ряда (і).

2. Прогноз в точке ряда F_i.

3. Некоторый зараннее заданный коэффициент сглаживания W, постоянный по всему ряду.

Новый прогноз можно записать формулой:

Скользящее среднее. 

Скользящее среднее  используется для расчета значений в прогнозируемом периоде на основе среднего значения переменной для указанного числа предшествующих периодов. Скользящее среднее, в отличие от простого среднего для всей выборки, содержит сведения о тенденциях изменения данных. Этот метод может использоваться для прогноза сбыта, запасов и других процессов. Расчет прогнозируемых значений выполняется по следующей формуле.

где:

• N — число предшествующих периодов, входящих в скользящее среднее;

• A_j — фактическое значение в момент времени j;

• F_j — прогнозируемое значение в момент времени j.

В состав Microsoft Excel входит набор средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения сложных статистических и инженерных задач. Для анализа данных с помощью этих инструментов следует указать входные данные и выбрать параметры; анализ будет выполнен с помощью подходящей статистической или инженерной макрофункции, а результат будет помещен в выходной диапазон. Другие средства позволяют представить результаты анализа в графическом виде. Они доступны через команду Анализ данных меню Сервис. Если этой команды нет в меню, необходимо загрузить надстройку Пакет анализа.

Лабораторна робота №5.

Технології імітаційного моделювання в інформаційних системах менеджменту.

Теоретичні відомості

Імітаційне моделювання є одним із могутніх засобів дослідження, зокрема складних систем. Воно дає можливість проводити обчислювальні експерименти з проектованими системами і способами управління. У той же час, завдяки своїй близькості за формою до фізичного моделювання, цей метод доступний більш широкому колу користувачів. Визначальною рисою імітаційного моделювання є вимога повторюваності, тому що один окремо взятий експеримент нічого не значить.

Метод імітаційного моделювання має безперечні переваги в порівнянні з аналітичними методами досліджень. Але суттєвим недоліком є те, що результати моделювання завжди мають поодинокий характер при фіксованих значеннях вихідних умов і технологічних параметрів. Для виявлення загальних закономірностей функціонування системи доцільно результати, отримані за допомогою імітаційної моделі, обробити методами кореляційно-регресійного аналізу.

Ідея методу імітаційного моделювання полягає в тому, що замість аналітичного опису взаємозв’язків між вхідними і вихідними станами та показниками будується алгоритм, який відображає послідовність розвитку процесів у середині об’єкта дослідження, а потім імітується поведінка цього об’єкта на ПК.

Імітаційна модель – обчислювальна процедура, що формалізовано описує об’єкт дослідження й імітує його поведінку. При її побудові немає необхідності спрощувати опис явища чи процесу, часом відкидаючи навіть суттєві частинки для того, щоб ввести його в рамки моделі, придатної для використання тих або інших відомих математичних методів.

Формалізована схема процессу – це формальний опис процедури функціонування складного об’єкта дослідження, дає можливість прорахувати відповідні їм числові значення вихідних характеристик ϖ для довільно заданих значень вхідних факторів моделі (змінних – x, детермінованих – a , випадкових – y ).

Методические указания

Перед выполнением лабораторной работы необходимо разработать детальный алгоритм имитационной модели. Алгоритм целесообразно разрабатывать поблочно: модель склада сырья; модель производсвенного участка; модель склада готовой продукции.

Для моделирования равномерно распределенных случайных величин процессов поступлення сырья на склад сырья и значений случайного спроса на готовую продукцию необходимо воспользоваться стандартной функцией СЛЧИС из пакета Мастер функций. Имитацию случайного времени наработки на отказ и случайного времени восстановления работоспособности производственного участка выполнить с использованием команды Анализ данных в меню Сервис. В окне Анализ данных необходимо выбрать инструмент Генерация случайных чисел и указать вид функции распределения (Пуассона). В качестве параметра (лямбда) функции распределения Пуассона указываем заданные показатель отказоустойчивости производственного участка или показатель восстановления работоспособности.

Имитацию условий изменения режима работы производственной технологической системы выполнять с исползованием функции ЕСЛИ.

В каждом цикле моделирования предусмотреть логический параметр (0-1; Да - Нет; или ИСТИНА-ЛОЖЬ), определяющий обеспеченность случайного спроса в данном цикле моделирования. После выполнения всех циклов моделирования подсчитать количество циклов М, в которых условие обеспеченности не выполняется. Пропускную способность системы рассчитать по формуле:

S= (N-M)/N,

где N – общее количество циклов моделирования

ЗМІСТ ЗАВДАНЬ НА ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ