10. Линейные цепи с распределенными параметрами.

Рассмотрим установившейся режим в системе, которая обладает равномерно распределенными линейными параметрами. Задача, связанная с анализом подобных систем, возникает, как только длительности сигналов оказываются настолько малыми (а частоты столь высокими), что длина электромагнитной волны становиться соизмерима с линейными размерами систем. Для того, чтобы показать основное отличие данного класса задач от задач анализа электрических цепей с сосредоточенными постоянными и не слишком усложнять математическую трактовку рассмотрим однородную линию передачи сигналов. Конкретно это может быть двухпроводная линия, коаксиальны кабель и т.п. Подобную систему характеризуют четыре постоянные погонные параметра, т.е. параметры, отнесенные к единицам длины: 1) последовательное линейное сопротивление , Ом/м; 2) параллельная проводимость (проводимость утечки между проводами) G_n, См/м ; 3) последовательная индуктивность , Гн/м; 4)параллельная емкость между проводами , Ф/м.

Напряжение и ток в линии являются теперь функциями двух независимых переменных : пространственной координаты x, определяющей место наблюдения сигнала, и времени t, определяющего момент наблюдения. Направление координатной оси выбирается совпадающим с направлением линии и отсчитываемым от ее начала. Задача анализа заключается в нахождении пространственно–временного распределения тока в линии и напряжения между проводами

Расчетная схема элементарного участка линии показана на рис.30 а.

Пусть и есть напряжение и ток в линии в точке с координатой x в момент t, тогда в точке с координатой ( ) в тот же момент времени значения этих перменных (с точностью до бесконечно малых величин высших порядков, чем ) будут равны:

Из закона Ома для этого участка изменение напряжения равно

т.е.

Аналогично (или из свойства дуальности) изменение тока на этом участке равно

Полученные уравнения образуют систему двух уравнений с частными производными первого порядка. Из них легко исключить любую неизвестную функцию путем частного дифиринцирования одного уравнения по x, а второго по t. После решения новой системы уравнений можно получить два телеграфных уравнения:

описывающих электромагнитные процессы в длинной линии, Уравнения относятся к классу гиперболических уравнений математической физики, для их решения требуется задание как начальных, так и граничных условий для напряжения и тока. Для установившегося режима уравнение (94) превращается в обыкновенное дифиринциальное уравнение. Например, для установившегося синусоидального режима из уравнения, перейдя к комплексным изображениям, получим

откуда, после преобразований, находим

и из выражения аналогично определяем

Если обозначить через комплексное сопротивление линии на единицу длины, а через – комплексную проводимость на единицу длины, то уравнения примут вид

и

Разумеется, в общем случае, здесь величина , а связана с постоянной распространения

В установившемся синусоидальном режиме уравнения также превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения:

Для конечных приращений эта система в соответствии со схемой на рис.30 б, примет вид

Кроме того, надо учесть, что нагрузкой данного элемента служит характеристическое сопротивление линии Z_O, поэтому систему (104) надо дополнить уравнением .

Сигнальный граф в соответствии с полученной системой для отрезка линии передачи показан на рис.30 в. Из сигнального графа находим

Определим характеристическое сопротивление , Ом, как сопротивление линии в точке, бесконечно удаленной от приемного конца.

Поскольку входное сопротивление должно равняться характеристическому (волновому) Z₀, из формулы (106) найдем

В случае распределенной механической системы – механической длинной линии с распределенной на единицу длины массой m_n=m/l, податливостью (обрат упругости) C_n=C_m/l и потерями G_n=G^m/l – система будет представлять бесконечную цепочку из указанных элементов (рис.31 а). Переходя к механической моделирующей цепи (рис. 31 б) и к электрической модели(рис.31 в) и затем к дуальной цепи, получим длинную линию (рис.31 г) без сопротивления проводов R_n=0. Из уравнения для электрической длинной линии при R_n=0, заменяя i=dq/dt, найдем

где скорость распространения электромагнитных волн в линии.

Используя электромеханическую аналогию (табл. 5), из последнего уравнения, приняв

где η – коэффициент вязкости среды;

E – модуль Юнга среды;

S – площадь поперечного сечения, получим волновое уравнение для линейной вязкоупругой среды, описываемой реологической моделью Максвелла, дополненной элементом инерции (массы):

где - фазовая скорость волны;

ξ – смещение частиц в волне.

Аналогично можно рассмотреть не продольные, а сдвиговые колебания и волны в линейных вязкоупругих средах. Проведенный анализ показывает, что реологические одномерные задачи линейной вязкоупругой среды сводятся к задачам линейных электрических цепей с сосредоточенными или распределенными постоянными, в случае волнованных задач известные реологические модели следует дополнить элементом массы (аналогично тому, как это сделано для модели Максвелла на рис.31 а)

Механические (акустические) линии на ультразвуковых частотах совместно с пьезо-или магнитно-стрикционными преобразователями часто используют как элементы временной задержки (линии задержки) электрических сигналов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Электротехника. /Под ред. Герасимова В.Г. М.: Высшая школа, 1965. 480с.

2. Теоретические основы электротехники. /Под ред. П.А.Ионкина . T.I. М.: Высшая школа, 1976. 544с.

3. Норенков И.Л. Введение в автоматизированное проектирова­ние технических устройств и систем. М.: Высшая школа, 1980. 320с.

4. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. М.: Энергия, 1980. 640с.

5. Тетельбаум И.М., Тетельбаум Я.И. Модели прямой аналогии. М.: Наука, 1979. 383с.

6. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Советское радио, 1978. 719с.

55