Как переводить числа между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления

Cистемы счисления двоичная (bin), восьмеричная (oct) и шестнадцатеричная (hex) тесно взаимосвязаны. Одной цифре числа в восьмеричной системе соответсвуют 3 цифры (триада) числа в двоичной. Если число цифр в двоичной системе не кратно трем то добавляем впереди незначащие нули.

В таблице показано соответствие чисел в восьмеричной и двоичной системе:

Десятичная система	Двоичная система	Восьмеричная система
15	1111 (001 111)	1 7
16	10000 (010 000)	2 0
17	10001 (010 001)	2 1
31	11111 (011 111)	3 7

Одной цифре в шестнадцатеричной системе соответсвуют 4 цифры (тетрада) числа в двоичной. Если число цифр в двоичной системе не кратно четырем то добавляем впереди незначащие нули.

В таблице показано соответствие чисел в шестнадцатеричной и двоичной системе:

Десятичная система	Двоичная система	Шестнадцатеричная система
15	1111 (1111)	F
16	10000 (0001 0000)	1 0
17	10001 (0001 0001)	1 1
31	11111 (0001 1111)	1 F
63	111111 (0011 1111)	3 F
64	1000000 (0100 0000)	4 0

Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления

В двоичной системе счисления используются цифры: 0, 1.

Рассмотрим основные арифметические операции для этих цифр: сложение, вычитание, умножение, деление.

Сложение:

0₂+0₂=0₂

0₂+1₂=1₂

1₂+0₂=1₂

1₂+1₂=10₂

Пример задачи на сложение:

Вычитание:

0₂-0₂=0₂

0₂-1₂=(заем из более старшего разряда)1₂

1₂-0₂=1₂

1₂-1₂=0₂

Пример задачи на вычитание:

Рассмотрим ход выполнения этото примера:

Умножение:

0₂*0₂=0₂

0_2*1₂=0₂

1_2*0₂=0₂

1₂*1₂=1₂

Умножение чисел делается также как и в десятичной системе.

Пример задачи на умножение:

Деление:

0₂/1₂=0₂

1₂/1₂=1₂

Деление чисел делается также как и в десятичной системе.

Пример задачи на деление:

1010|10   10     101     10    10      0

Разбор задачи a1 (демо егэ 2013)

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 255?

1. 1

2. 2

3. 7

4. 8

Решение:

1 способ:

255 | 2     2       127 | 2      5     12     63 | 2      4        7    6     31 | 2     15      6      3   2     15 | 2    14      1      2   11   14   7 |  2     1              1   10     1   6     3 | 2                          1          1     2   1                                            1  

Выписываем конечный результат и остатки. Получаем: 11111111₂. В числе 8 единиц.

2 способ (метод быстрого перевода):

Метод описан в статье: "Быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную".

Число 255 меньше числа "2 в степени" на 1.

255=256−1=2⁸−1 (8 единиц).

Разбор задачи b7 (демо егэ 2013)

Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Ответ: 15

Решение:

При переводе числа из десятичной системы в другую, мы делим десятичное число на основание другой системы счисления.

Первый остаток от деления - это последняя цифра числа в этой системе счисления. Чтобы в остатке был 0, мы должны подобрать десятичное число, которое будет кратно основанию системы счисления, в которую переводим. Для системы с основанием 3, такими числами могут быть: 3, 6, 9 и т.д. Для системы с основанием 5 - 5, 10, 15 и т.д. 

По заданию, число должно быть минимально, поэтому для системы с основанием 3 - это число 3, а с основанием 5 - это число 5. 

3|3        5|5 3 1        5  1 0           0

3₁₀=10₃ и 5₁₀=10₃

Чтобы остаток числа был равен 0-ю в обеих системах счисления (с остатком 3 и 5), десятичное число должно быть кратно числам: 3 и 5. 

3*5=15 - это и есть искомое десятичное число.

15|3         15|5 15 5         15  3  0              0

15₁₀=50₃ и 15₁₀=30₅