|
Определение. Пусть
каждому натуральному числу n поставлено
в соответствие некоторое единственное
действительное число Последовательность
обозначается:
,
n=1, 2,… или Числа По определению любая последовательность содержит бесконечное множество элементов. Часто
последовательность задается при
помощи формулы:
,
Последовательность
может быть задана и другими способами.
Например, если Для задания последовательностей используют также рекуррентные соотношения. При таком способе задания последовательности указывают один или несколько первых ее членов и формулу, которая позволяет найти ее n-й член через предшествующие члены. Например, a b
=1, b Определение. Пусть
даны две числовые последовательности
{a
}
и {b
}.
Суммой, разностью, произведением и
частным этих последовательностей
называются соответственно
последовательности { Определение. Последовательность
{a
}
называется возрастающей (убывающей),
если для любого n Определение. Последовательности
убывающие, возрастающие, неубывающие,
невозрастающие называются монотонными
последовательностями. Например, а)
последовательность a
=n!,
n
N
– возрастающая;
б) последовательность 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6,
7, 8, 9, 9,…- неубывающая; в) последовательность
1, Пример
1. Исследовать
на монотонность последовательность a
= Рассмотрим a
-
a
= Пример
2. Исследовать
на монотонность последовательность
a
= Рассмотрим Следует
различать последовательность {a Определение. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу). Определение. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной. Например, последовательность {(-1) } ограниченная; последовательность {n} – ограничена снизу, но не ограничена сверху, следовательно, она неограниченная. Наименьшее из чисел, ограничивающих последовательность {a } сверху, называется ее супремумом и обозначается supa , а наибольшее из чисел, ограничивающих последовательность снизу, называется ее инфимумом и обозначается infa . Пример
3. Доказать,
что последовательность a
= Рассмотрим a
-a a
= Пример
4. Доказать,
что последовательность a
=n |
(при
этом разным натуральным числам n могут
соответствовать и одинаковые
действительные числа). В этом случае
на множестве натуральных чисел
определена функция: 
,
которая называется числовой
последовательностью или просто
последовательностью.
.
, 
,…
называются членами последовательности
или ее элементами,
–
общим членом последовательности, n
– номером
члена
.
.
В этом случае эта формула называется
формулой общего члена последовательности
{
}.
Например,
=
,
;
–
число всех различных делителей числа n,
то 
,
-
последовательность, для
которой
=1,
=2, 
=2, 
=3, 
=2, 
=4, 
=2,…
=1, a
= 
+1
при n=1,
2,…;
=2, b
=2b
+b
при n
3.
},
{
},
{
},
{
};
последнее при условии, b
0,
n=1,
2,…. Произведением последовательности
{a
}
на число k,
называется последовательность {ka
}.
N справедливо
неравенство a
>a
(a
<a
).
Последовательность {a
}
называется неубывающей (невозрастающей),
если для любого n
N справедливо
неравенство a
a
(a
a
).
,
3, 
,
5, 
,
7, 
,…
– немонотонная.
,
n
N.
при
любом n
N,
следовательно,
a
>a
при
любом n
N, то
есть последовательность возрастающая.
-
.
=
=
=
=
при
любом n
N,
следовательно, a
<a
при
любом n
N,
то есть последовательность убывающая.
},
то есть множество элементов a
,
n
N (оно
всегда бесконечно) и множество значений
ее элементов. Например, для
последовательности {(-1)
}
множество значений ее элементов
состоит из двух чисел –1 и 1.
,
n
N,
является ограниченной.
=
при
любом n
N,
то есть a
<a
, следовательно,
последовательность возрастает и
ограничена снизу числом a
=
.
при
любом n
N, следовательно,
последовательность ограничена сверху
числом 1. Последовательность, ограниченная
сверху и снизу, является ограниченной.
,
n
N,
не является ограниченной. Очевидно,
что данная последовательность
ограничена снизу, так как a
>0
для любых n
N.
Предположим, что она ограничена сверху,
то есть существует такое число M>0,
что n
M для
любого n
N.
Пусть m=[
]+1
– целое число, тогда m
=([
]+1)
>
> (
)
=M.
Мы получили, что существует номер m такой,
что a
=m
>M –
противоречие с предположением.
Следовательно, данная последовательность
не является ограниченной. Очевидно,
что возрастающая последовательность
{a
}
всегда ограничена снизу, а убывающая
сверху числом a
.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Определение
Последовательность 
называется бесконечно
малой последовательностью (б.м.п.),
если для любого 
существует
номер 
такой,
что для любого 
выполняется
неравенство:
Последовательность
называется бесконечно
большой (б.б.п.),
если для любого 
существует
номер
такой,
что для любого
выполняется
неравенство: 
Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей
1° Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.
2° Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.
3° Если - б.м.п., то - ограниченная последовательность.
4° Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.
5°
Если
-
б.м.п. и 
,
то 
,
т.е. 
6°
Если
-
б.м.п. и 
,
то последовательность 
-
б.б.п.
7°
Если
-
б.б.п., то 
и
последовательность
-
б.м.п.
Предел функции в точке
Пусть
задано некоторое числовое множество 
и
каждому 
поставлено
в соответствие число 
,
тогда говорят, что на множестве 
задана
функция 
,
.
Определение предела функции по Коши
Определение
Число 
называется пределом
функции 
в
точке 
,
если для 
такое,
что для
из
того, что 
следует,
что 
: 
или 
при 
.
Определение предела функции по Гейне
Определение
Число
называется пределом
функции
в
точке
,
если для любой последовательности
,
которая сходится к
,
соответствующая последовательность
значений функции 
сходится
к
.
Пример
Задание. Сформулировать при помощи неравенств следующее утверждение:
Решение. Сформулируем при помощи определения предела функции по Коши:
По определению предела функции по Гейне имеем:
Полезные равенства
Теорема
Пусть
функции
и 
заданы
в некоторой окрестности точки
,
кроме, возможно, самой точки
,
и
и 
.
Тогда имеют место следующие равенства:
а) 
б) 
в) 
г) 
Теорема
При функция может иметь только один предел.
Односторонние пределы
Определение
Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.
Левый и правый пределы функции
Определение
Число
называется правым
пределом функции
в
точке
,
если для
такое,
что для любого 
и 
,
выполняется неравенство
(рис.
1). Правый предел обозначается 
Число
называется левым
пределом функции
в
точке
,
если для
такое,
что для любого
и 
,
выполняется неравенство
(рис.
2). Левый предел обозначается 
Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.
Теорема
Если
существуют 
и 
,
причем 
,
то существует и
.
Обратное утверждение также верно.
В
случае, если 
,
то предел 
не
существует.
Пример
Задание. Найти
односторонние пределы
функции 
при 
Решение. Правый
предел: 
Левый
предел: 
Основные неопределенности и способы их раскрытия
Определение
При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.
Основные виды неопределенностей: , , , , , ,
Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;
правило Лопиталя;
эквивалентные бесконечно малые функции.
Основные пределы
1.
Первый замечательный предел: 
Пример
Задание. Вычислить
предел 
Решение. Получим
неопределенность, сделаем замену.
При
: 
, 
Ответ. 
2.
Второй замечательный предел: 
Пример
Задание. Вычислить
предел 
Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.
Ответ. 
3. Предел частного многочленов на бесконечности:
Пример
Задание. Найти
предел 
Решение. 
Ответ. 
4.
Предел целой рациональной функции: если 
,
то 
Пример
Задание. Найти
предел функции 
в
точке 
Решение. 
5. Пределы иррациональных выражений:
а) чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения. Иррациональность переносится с помощью домножения и числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к иррациональности.
Пример
Задание. Вычислить
предел 
Решение. Получим неопределенность и домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к иррациональности.
Ответ. 
б) Вычисление пределов, содержащих разность корней:
Пример
Задание. Вычислить
предел 
Решение. Получим неопределенность и домножим и поделим выражение на сопряженное.
Ответ. 
6. Раскрытие неопределенности в частном двух многочленов с помощью разложения на множители:
Пример
Задание. Вычислить
предел 
Решение. Получим неопределенность, разложим на множители числитель и знаменатель, сократим одинаковые элементы.
Ответ. 
Бесконечно малые функции и их основные свойства
Функция y=f(x) называется бесконечно
малой при x→a или
при x→∞,
если 
или 
,
т.е. бесконечно малая функция – это
функция, предел которой в данной точке
равен нулю.
П
римеры.
Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как
(см.
рис.).Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если
функция y=f(x) представима
при x→aв
виде суммы постоянного числа b и
бесконечно малой величины α(x):
f (x)=b+ α(x) то 
.
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство.
Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство.
Приведем доказательство для двух
слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x),
где 
и 
.
Нам нужно доказать, что при произвольном
как угодно малом ε>0
найдется δ>0,
такое, что для x,
удовлетворяющих неравенству |x
– a|<δ,
выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M.Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие
1. Если
и
,
то 
.
Следствие
2. Если
и c=const,
то 
.
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство.
Пусть 
.
Тогда 1/f(x) есть
ограниченная функция. Поэтому дробь 
есть
произведение бесконечно малой функции
на функцию ограниченную, т.е. функция
бесконечно малая.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ
И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
Доказательство. Возьмем
произвольное число ε>0 и
покажем, что при некотором δ>0 (зависящим
от ε) при всех x,
для которых |x
– a|<δ,
выполняется неравенство 
,
а это и будет означать, что 1/f(x) –
бесконечно малая функция. Действительно,
так как f(x) –
бесконечно большая функция при x→a,
то найдется δ>0 такое,
что как только |x
– a|<δ,
так |f(x)|>1/ ε.
Но тогда для тех же x
.
Примеры.
Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция
–
бесконечно малая при x→+∞,
т.е. 
.
.
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Примеры.
.
.
,
так как функции 
и 
-
бесконечно малые при x→+∞,
то 
,
как сумма бесконечно малых функций
есть функция бесконечно малая. Функция
же 
является
суммой постоянного числа и бесконечно
малой функции. Следовательно, по теореме
1 для бесконечно малых функций получаем
нужное равенство.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0
.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
.
Доказательство.
Проведем доказательство для двух
слагаемых, так как для любого числа
слагаемых оно проводится так же.
Пусть 
.Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x),
где α и β –
бесконечно малые функции. Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).
Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то
.
Пример. 
.
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
.
Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и
fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
Произведение bc есть
величина постоянная. Функция bβ
+ c α + αβ на
основании свойств бесконечно малых
функций есть величина бесконечно малая.
Поэтому 
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
Пример.
.
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
.
Доказательство.
Пусть 
.
Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x),
где α,
β –
бесконечно малые. Рассмотрим частное
.
Дробь 
является
бесконечно малой функцией, так как
числитель есть бесконечно малая функция,
а знаменатель имеет предел c2≠0.
Примеры.
.
.Рассмотрим
.
При x→1 числитель
дроби стремится к 1, а знаменатель
стремится к 0. Но так как 
,
т.е. 
есть
бесконечно малая функция при x→1,
то 
.
Т
еорема
4. Пусть
даны три функции f(x),
u(x) и v(x),
удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤
v(x).
Если функции u(x) и v(x) имеют
один и тот же предел при x→a (или x→∞),
то и функция f(x) стремится
к тому же пределу, т.е. если
,
то 
.
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.
Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.
Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0, тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→a, что противоречит условию теоремы.
Теорема
6. Если
две функции f(x) и g(x) при
всех значениях аргумента x удовлетворяют
неравенству f(x)≥
g(x) и
имеют пределы 
,
то имеет место неравенство b≥c.
Доказательство. По
условию теоремы f(x)-g(x)
≥0,
следовательно, по теореме 5 
,
или 
.
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Д
о
сих пор мы рассматривали определение
предела функции, когда x→a произвольным
образом, т.е. предел функции не зависел
от того, как располагалось x по
отношению к a,
слева или справа от a.
Однако, довольно часто можно встретить
функции, которые не имеют предела при
этом условии, но они имеют предел,
если x→a,
оставаясь с одной стороны от а,
слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят
понятия односторонних пределов.
Если f(x) стремится
к пределу b при x стремящемся
к некоторому числу a так,
что xпринимает
только значения, меньшиеa,
то пишут 
и
называют bпределом
функции f(x) в точке a слева.
Таким
образом, число b называется
пределом функции y=f(x) при x→aслева,
если каково бы ни было положительное
число ε, найдется такое число δ (меньшее a),
что для всех 
выполняется
неравенство 
.
Аналогично,
если x→a и
принимает значения большие a,
то пишут 
и
называют b пределом
функции в точке а справа.
Т.е. число bназывается пределом
функции y=f(x) при x→a
справа,
если каково бы ни было положительное
число ε, найдется такое число δ (большее а),
что для всех 
выполняется
неравенство
.
Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.
Примеры.
Р
ассмотрим
функцию y=f(x),
определенную на отрезке [0,1] следующим
образом
Найдем
пределы функции f(x) при x→3.
Очевидно, 
,
а 
.
.
.
Таблица эквивалентных бесконечно малых при
Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида
)
можно было применять к возможно большему
числу примеров, мы должны иметь достаточно
большой запас известных пар эквивалентных
бесконечно малых величин. Для наиболее
употребительной базы
создадим
такой запас в виде таблицы "стандартных"
эквивалентных бесконечно малых.Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак
вместо 
.1)
.
Эту формулу мы уже доказали и использовали
в примерах. Эквивалентность 
и 
при
означает
в точности, что первый замечательный
предел равен 1.2)
.
Эта эквивалентность тоже была доказана
выше в одном из примеров.3)
.
Докажем эту эквивалентность:
4)
.
Докажите это в качестве упражнения,
сделав замену 
и
применив предыдущую табличную формулу.5)
.
Для доказательства воспользуемся
формулой 
.
Далее, имеем:
Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.
6)
( 
).
Для доказательства этой эквивалентности
сделаем такое преобразование:
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:
и мы доказали формулу 6.
В частном случае, при
,
получаем эквивалентность
) 
.7)
(
).
Для доказательства сделаем замену 
и
выразим
через 
: 
.
Согласно формуле 6, 
при
,
откуда 
.
Из непрерывности логарифма следует,
что 
и,
значит, 
при 
.
В этой формуле осталось лишь сменить
обозначение переменного
на
,
чтобы получить формулу 7.В частном случае, при , получаем эквивалентность
) 
.Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней .
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
( ).
)
.
7)
( ).
)
.
Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида .
Пример 2.37 Вычислим предел
.
Для этого в числителе вынесем за
скобку 
,
а к знаменателю применим формулу 
,
где 
, 
.
Получим
Мы заменили
на
эквивалентную величину 
(учтя
при этом, что 
при
), 
на
эквивалентную величину 
(учтя,
что 
при
),
затем сократили числитель и знаменатель
на
и,
наконец, воспользовались тем, что
функции
и 
непрерывны
и что 
и 
.
Пример 2.38 Вычислим предел
Заменим в числителе
на
эквивалентную величину 
,
а знаменатель 
--
на эквивалентную величину 
.
После этого можно будет сократить дробь
на 
и
получить ответ:
Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах
и 
.
Если же рассматриваемый пример содержит
неопределённость вида 
при
какой-либо другой базе, то часто предел
можно свести к пределу при "стандартной"
базе
(или
,
или
)
с помощью подходящей замены переменной,
а затем воспользоваться табличными
эквивалентностями.Пример 2.39 Вычислим предел
.Если сделать замену
,
то при 
новая
переменная 
будет,
очевидно, стремиться к 0, то есть
база
перейдёт
при такой замене в "стандартную"
базу 
.
Подставляя 
и
учитывая формулу приведения для
косинуса, получаем:
Мы применили табличную формулу
,
а затем сократили дробь на 
и
получили ответ. Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.
Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу:
Здесь мы последовательно воспользовались формулами
и учли, что величины
, 
, 
, 
являются
бесконечно малыми при
.Используя полученную в результате эквивалентность
