Практичні роботи № 3 – 4 дисперсійний аналіз експериментальних даних наукових досліджень

Мета роботи: навчити студентів проводити дисперсійний аналіз експериментальних (статистичних) даних (визначати ступінь впливу різних факторів на зміну досліджуваної величини).

Теоретичні відомості

Основною задачею дисперсійного аналізу є визначення ступеня впливу різних факторів на зміну досліджуваної величини.

Особливістю дисперсійного аналізу є наступні положення:

1. замість середніх значень для окремих варіантів досліду обчислюють одну загальну середню арифметичну для всього досліду в цілому;

2. замість індивідуальних похибок кожного варіанту досліду обчислюють одну середню похибку, яку використовують для оцінки відмінностей між варіантами.

Дисперсійний аналіз найчастіше зводиться до визначення величини випадкового варіювання, що дає можливість визначити середню похибку та найменшу суттєву різницю (НСР), тобто мінімальну різницю між середніми, яка в даному досліді визнається суттєвою.

НСР = t * S_х, (8)

де, t – критерій Стьюдента для прийнятого рівня значимості та числа ступенів свободи дисперсії; S_х – помилка досліду, яка обчислюється за формулою 9.

(9)

де, n – число повторень в оцінюваних варіантах;

S_z – сума квадратів випадкового варіювання.

Вибір рівня значимості, тобто ймовірність ризику зробити на основі експериментальних даних помилковий висновок, визначається відповідальністю висновків і можливістю. В практиці економічних дослідженнях вважається досить прийнятним у висновках опиратись на 95 % - й рівень значимості, коли ризик зробити помилковий висновок складає 5 %, або 5 випадків із 100 (формула 10). Для найбільш відповідальних досліджень приймають 99 % рівень значимості.

НСР₀₅ = t₀₅*S_х (10)

Критерій Стьюдента визначають за таблицею 2.

Розподіл на групи за значенням НСР проводиться, керуючись такими положеннями:

І група – відхилення середнього прибутку від контролю з додатнім знаком та більше нього (різниця суттєва – збільшення);

ІІ група – відхилення не виходить за межі  НСР (різниця не суттєва);

ІІІ група – відхилення з від’ємним знаком більше по абсолютній величині за НСР (суттєве зниження).

Задача 2

Виконати дисперсійний аналіз обсягів продажу товару А, який випускають 7 конкуруючих підприємств. Вихідні дані діяльності цих підприємств протягом 4-х кварталів року представлені в таблиці 4.

Таблиця 4.

Вихідні дані для виконання задачі 2

Назва підприємства	Обсяги продажу товару “А” за кварталами року
	I	II	III	IV
А (контроль)	66,8+N	63,6+N	67,7+N	68,8+N
В	72,6+N	69,3+N	71,7+N	70,0+N
С	62,7+N	61,6+N	67,9+N	65,5+N
Д	62,0+N	62,7+N	64,2+N	62,3+N
Е	59,5+N	59,8+N	60,9+N	61,0+N
Ж	74,8+N	70,6+N	65,8+N	67,5+N
З	65,2+N	69,4+N	61,7+N	58,8+N

Примітка: N – порядковий номер студента в журналі викладача.

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 5

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ

Мета роботи: навчити студентів проводити математичну обробку експериментальних (статистичних) даних та перевіряти їх на наявність грубих помилок методом Стьюдента.

Методика розрахунку та теоретичні відомості

Для обробки результатів експериментальних (статистичних) даних використовують наступну схему:

1. Визначають середнє значення отриманих результатів, тобто середнє арифметичне :

(11)

2. Знайдять відхилення від середнього значення для кожного результату за формулою 12.

(12)

Ці відхилення характеризують абсолютну помилку визначення. Випадкові помилки мають різні знаки. Коли значення результату досліду перевищує середнє значення, помилка досліду вважається позитивною. Коли ж значення результату досліду менше середнього значення, помилка вважається негативною. Чим точніше проведені вимірювання, тим ближче значення окремих результатів і середнє значення.

3. Обраховують дисперсію ( ) за формулою 13.

(13)

4. Знаходять стандартне відхилення окремого значення за формулою 14.

(14)

6. Визначають стандартне відхилення середнього результату:

(15)

6. Проводять перевірку надійності отриманих результатів за критерієм Стьюдента для проведеного числа дослідів n при вибраній довірчій ймовірності (надійності) . В більшості випадків приймають 0,95 або 0,99.

Це означає, що 95% або 99% абсолютних відхилень результатів будуть лежати у вказаних межах.

Критерій з довірчою ймовірністю показує, в скільки разів модуль різниці між істинними значеннями величини і середнім значенням більше за стандартне відхилення середнього результату:

(16)

7. З таблиці 5 знаходять значення і використовуючи раніше отримане значення , розраховують помилку отриманого середнього результату:

(17)

8. Встановлюють інтервал, в якому з довірчою ймовірністю буде знаходитись середній результат:

(18)

Таблиця 5.

Значення критерію Стьюдента при різних рівнях значимості

Число ступенів свободи, f	Рівень значимості		Число ступенів свободи, f	Рівень значимості
	0,95	0,99		0,95	0,99
1	12,71	63,66	11	2,20	3,11
2	4,30	9,93	12	2,18	3,06
3	3,18	5,84	13	2,16	3,01
4	2,78	4,60	14	2,15	2,98
5	2,57	4,03	30	2,04	2,75
6	2,45	3,71	40	2,02	2,70
7	2,37	3,50	60	2,00	2,66
8	2,31	3,36	120	1,98	2,62
9	2,26	3,25		1,96	2,58
10	2,23	3,17	-	-	-

9. Визначають відносну помилку за формулою 19.

(19)

Якщо значення відносно значення велике, то результати що підлягають обробці перевіряють на наявність грубих помилок.

Якщо при розгляді результатів досліджень видно, що одне із значень сильно відрізняється від решти, то необхідно його перевірити чи не є воно грубою помилкою. Для цього необхідно знайти значення критерію Стьюдента для “сумнівного” результату за формулою 20.

(20)

Результат досліду вважається грубою помилкою, якщо експериментальне значення критерію t_р за модулем більше табличного: t_р > t_т.

Після виключення грубих помилок виконується вторинна обробка за такою ж схемою, але уже без виключення експериментальних даних.

Задача 3.

За результатами маркетингових досліджень ринку були встановлені співвідношення попиту і пропозиції, які представлені в таблиці 3. Необхідно провести математичну обробку даних досліджень та перевірити їх на наявність грубих помилок методом Стьюдента.

ПРАКТИЧНІ РОБОТИ № 6 – 8

ПІДБІР ЕМПІРИЧНИХ ФОРМУЛ ТА ВИЗНАЧЕННЯ

ЇХ ПАРАМЕТРІВ

Мета роботи: навчити студентів підбирати емпіричні формули за результатами експериментальних та статистичних досліджень використовуючи методи прямої, поліномів, напівлогарифмів, найменших квадратів.

Методика розрахунку та теоретичні відомості

В процесі експериментальних досліджень отримують статистичний ряд двох величин, коли кожному значенню функції у₁, у₂, …у_n відповідає визначене значення аргументу х₁, х₂ … х_n.

Алгебраїчні вирази підібрані на основі експериментальних даних називають емпіричними формулами. Такі формули підбирають лише в межах досліджених значень аргументу х₁ – х_n і мають тим більшу цінність, чим більше відповідають результатам експерименту. Необхідність підбору емпіричних формул виникає у випадках, коли аналітичні вирази складні і потребують громіздких обрахунків, або взагалі не мають аналітичного виразу, тоді ефективніше користуватись емпіричними формулами.

Емпіричні формули повинні бути по можливості найбільш простими і точно відповідати досліджуваним даним в межах виміру аргументу. Отже, емпіричні формули є наближеним виразом аналітичних формул. Заміну точних аналітичних виразів наближеними, більш простими, називають апроксимацією, а функції - апроксимуючими.

Процес підбору емпіричних формул складається з двох етапів. На першому етапі дані вимірювань наносять на сітку прямокутних координат, з’єднують експериментальні точки плавною кривою і вибирають орієнтовно вид формули. На другому - обчислюють параметри формул, які б найкращим чином відповідали прийнятій формі кривої. Підбір емпіричних формул розпочинають з найбільш простих виразів.

Результати вимірювань багатьох явищ і процесів апроксимуються емпіричними виразами типу:

(21)

де, - постійні коефіцієнти (рис 2).

Рис. 2. Графік прямої

Під час аналізу графічного матеріалу необхідно використовувати за можливістю лінійну функцію. Якщо ж експериментальні дані не відповідають лінійному розподілу, то для застосування лінійної залежності використовують метод вирівнювання. Він полягає в тому, що криву, побудовану за емпіричними точками, представляють лінійною функцією. Для перетворення деякої кривої в пряму лінію вводять нові змінні, які пов’язані лінійною залежністю (22).

(22)

Для встановлення параметрів прямої використовують графічний метод. В рівняння (22) підставляють координати двох крайніх точок, взятих з графіка. Отримують систему двох рівнянь, з яких обчислюють і . Після встановлення параметрів і отримують емпіричну формулу (21), яка пов’язує і , що дозволяє встановити функціональний зв’язок між і емпіричної формули (22).

Підбір емпіричних формул може відбуватись тако ж за допомогою методів найменших квадратів або методом середніх. Але найбільш широко при підборі емпіричних формул використовуються поліноми:

у = А₀ + А₁Х + А₂Х² + А₃Х³ + … + А_nХⁿ, (23)

де, А₀, А₁, … А_n – постійні коефіцієнти.

Поліномами можна апроксимувати будь-які результати досліджень, якщо вони графічно виражають неперервні функції. Особливо цінним є те, що навіть при невідомому точному виразі функції (23) можна визначити значення коефіцієнтів А.

Порядок розрахунку коефіцієнтів полінома зводиться до наступного.

1. Визначають число членів ряду, тобто число невідомих (зазвичай їх 3- 4), чим їх більше, тим рівняння більш точне, проте важче його розв’язати.

2. У прийнятий вираз послідовно підставляють координати і експериментальних точок і отримують систему з рівнянь (24).

(24)

3. Розбивають систему вихідних рівнянь (24) послідовно зверху вниз на групи, кількість яких повинна бути рівною кількості невідомих коефіцієнтів .

4. Отримують нові системи рівнянь, обчислюють коефіцієнти , які підставляють у рівняння полінома, отримуючи таким чином емпіричну формулу полінома.

Задача 4.

Підібрати емпіричну формулу (методом прямої) для експериментальних даних представлених в табл. 6.

Таблиця 6.

Вихідні дані для виконання задачі 4

№ з/п	Значення вихідних даних
х	1+N	2+N	3+N	4+N	5+N	6+N	7+N
у	12,1+N	19,2+N	25,9+N	33,2+N	40,5+N	46,4+N	54,0+N

Примітка: N – порядковий номер студента в журналі викладача.

Задача 5.

Підібрати емпіричну формулу (методом поліномів) за даними експериментальних досліджень представлених в табл. 7.

Таблиця 7.

Вихідні дані для виконання задачі 5

№ з/п
х	4+N	5+N	6+N	7+N	8+N	9+N	10+N
у	10,2+N	6,7+N	4,8+N	3,6+N	2,7+N	2,1+N	1,7+N

Примітка: N – порядковий номер студента в журналі викладача.

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 9

ВИЗНАЧЕННЯ НЕОБХІДНОГО ЧИСЛА

ПОВТОРЮВАНЬ ДОСЛІДУ

Мета роботи: навчити студентів підбирати емпіричні формули за результатами експериментальних та статистичних досліджень використовуючи методи прямої, поліномів, напівлогарифмів, найменших квадратів.

Методика розрахунку та теоретичні відомості

Для отримання істинного значення вимірюваного параметру у з заданим довірчим інтервалом проводять дослід з визначеним числом повторювань (нерівність 25).

(25)

Зазвичай буває достатньо прийняти і довірчу ймовірність .

У випадках вирішення задач із визначення необхідної кількості повторювань досліду (для знаходження будь-якого показника) за умови, що середній результат має точність не нищу за задану, спочатку знаходять з невеликого (2-3) числа дослідів. Далі задаються деякою довірчою ймовірністю (зазвичай ) і потрібним значенням величини , тобто відхиленням середнього результату від істинного значення величини у, що знаходиться.

Наступним кроком визначають критерій Стьюдента за формулою 26.

(26)

Після цього з допомогою таблиці 5 і розрахунків підбирають таку кількість дослідів (n), щоб критерій Стьюдента при f = n – 1 відповідав розрахованому.

Якщо ж n виходить дуже великим, то досягнення заданої точності визначення у даним методом є нераціональним. Потрібно використати інший, більш точний метод.

Задача 6.

В результаті досліду отримано 2 результати: 56,47 + N і 56,07 + N. Необхідно визначити необхідну кількість повторювань досліду, яка забезпечувала б при довірчій ймовірності точність середнього результату (відносну помилку) в 1,0 %.

Примітка: N – порядковий номер студента в журналі викладача.