4.2. Математичне програмування як засіб прийняття оптимальних управлінських рішень

Успішність виконання переважної більшості управлінських завдань залежить від найкращого, найвигіднішого способу використання ресурсів, таких як гроші, товари, сировина, обладнання, робоча сила тощо. Адже ресурси, необхідні для виконання певної роботи, практично завжди обмежені. І від того, яке рішення буде прийняте щодо кількісного розподілу цих обмежених ресурсів, залежить кінцевий результат діяльності організації. Як правило, вибирають такий спосіб використання (розподілу) ресурсів, за якого забезпечується максимум (чи мінімум) найважливішого для організації показника. Оскільки при цьому мовиться про кількісні величини, потрібен і досить потужний формалізований апарат для вироблення варіантів рішень, їх аналізу і порівняння.

Одним з основних формалізованих підходів до прийняття рішень у різноманітних галузях людської діяльності, де в певних ситуаціях потрібно вибрати найкращий з можливих варіантів дій, виступає математичне програмування - розділ математики, предметом якого є задачі на знаходження екстремуму деякої функції за певних заданих умов.

У загальному вигляді задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних X = x2,..., xn), щоб функція z = f (X) набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення за умов X є D, де D - множина допустимих значень.

Функцію z = f (X), аргументами якої є прийняті варіанти рішень, а значеннями - числа, що відбивають міру досягнення мети, називають цільовою функцією, або критерієм якості управлінського рішення.

Умови X є D називаються обмеженнями задачі. Вони описують внутрішні технологічні та економічні процеси функціонування й розвитку системи, а також процеси зовнішнього середовища, які впливають на результат діяльності системи.

Будь-який набір змінних X = x2,...,xn), що задовольняє обмеження задачі, утворює множину допустимих альтернативних управлінських рішень, яку називають допустимим планом, або планом. Очевидно, що кожний допустимий план є відповідною стратегією системи, програмою дій.

План X , за якого цільова функція набуває екстремального значення називається оптимальним.

extrf (X ) = f (X *),

X єD

Розв'язати задачу математичного програмування означає відшукати таке з альтернативних рішень, яке було б найкращим з погляду значення цільової функції.

Зауважимо, що не для кожної задачі математичного програмування існує оптимальне управлінське рішення, навіть якщо є допустимі рішення. Крім того, не кожна задача математичного програмування має допустимі розв'язки, оскільки система обмежень (рівності й нерівності) може бути несумісною.

Класифікувати задачі математичного програмування можна за різними ознаками:

- характер зв'язку між змінними (лінійні, нелінійні):

- характер зміни змінних (неперервні, цілочислові, дискретні):

- фактор часу (статичні, динамічні):

- інформація про змінні (детерміновані, стохастичні):

- кількість критеріїв якості (однокритеріальні, багатокритеріальні). Наведемо кілька формалізованих типових постановок управлінських задач, що розв'язуються методами математичного програмування.