Метод итераций и метод Зейделя
Метод итераций позволяет получить последовательность приближенных значений, сходящуюся к точному решению системы линейных уравнений. В отличие от метода Гаусса, метод итераций не требует контроля промежуточных вычислений, так как отдельные ошибки на каком-либо шаге итерации не искажают окончательных результатов, хотя и удлиняет процесс счета. Иначе говоря, метод итераций решения систем линейных уравнений является самоисправляющимся. Кроме того, метод итераций легко запрограммировать для ЭВМ. Пусть имеем систему
или,
короче,
.
Предположим, что
определитель системы отличен от нуля
и что диагональные коэффициенты
Выразим из
первого уравнения x1,
из второго x2,
и т. д. Тогда получим эквивалентную
систему:
,
где 
Полученную систему запишем так:
(3)
и назовем ее системой нормального вида.
Будем решать ее методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем, например, столбец свободных членов
Подставив
в правую часть системы (3) значения
(i =
),
получим первое приближение:
.
Затем
аналогично второе: 
и т. д.
Таким образом, зная k-e приближение, (k + 1)-е приближение вычисляют по формуле
(4)
Если
последовательность приближений (
)
(j =
)
имеет предел 
то
является
точным решением системы нормального
вида, а значит, и исходной системы. В
самом деле, переходя к пределу при
в (4), имеем:
Описанный метод последовательных приближений называется методом итераций. Рабочие формулы метода итераций имеют вид:
Существование
предела
гарантирует теорема о достаточном
признаке сходимости процесса итераций.
Достаточным условием сходимости итерационных методов является условие
При методе Зейделя итерационный процесс подобен описанному для метода простых итераций, однако уточненные значения Хij+1 сразу подставляются в последующие уравнения. Формула итерационного процесса имеет вид:
Задание к работе
Изучить численные методы решения систем линейных уравнений.
Составить блок-схему и программу решения системы алгебраических уравнений (см. Прилодение):
для вариантов 1,4,7,10,… - методом Гаусса, методом отражения и методом итераций;
для вариантов 2,5,8,11,… - методом Гаусса с выбором главного элемента и методом Зейделя;
для вариантов 3,6,9,12,… - методом Гаусса-Жордана и методом Зейделя.
Сравнить результаты методов и сделать выводы.
Содержание отчета: титульный лист, тема и цель работы, № варианта задания и собственно задание, математическая постановка задачи (сущность методов на примере), блок-схема алгоритма, текст программы, результаты работы программы, выводы.
Контрольные вопросы
1.Сущность методов решения системы линейных алгебраических уравнений:
Гаусса;
Гаусса с выбором главного элемента;
метода Гаусса - Жордана;
метода простых итераций;
метода Зейделя.
2.Какие ограничения накладываются на матрицу коэффициентов и свободных членов системы уравнений?
3.Какова погрешность основных численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.